Duas superfícies condutoras perfeitas cilíndricas de comprimento L estão em rho=3 e rho=5 cm. A corrente total que sai radialmente do meio entre os cilindros é de 3 A . (a) Encontre a diferença de potencial e a resistência entre os cilindros, e E na região entre os cilindros, se um material condutor de sigma=0,05 S / m está presente em 3. (b) Mostre que a integral sobre o volume da potência dissipada por unidade de volume dá a potência total dissipada.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos duas superfícies cilíndricas condutoras perfeitas, de comprimento L, situadas em rho=a=3,cm e rho=b=5,cm, e nelas passa uma corrente total radial de I=3,A. O espaço entre a é preenchido por um material condutor de condutividade sigma=0,05,S/m.
Conteúdo: Resistência de um condutor cilíndrico em coordenadas cilíndricas, campo elétrico em regime estacionário, e potência dissipada por Joule.
O que vamos usar:
  1. Lei de Ohm local: J=sigmaE.
  2. Expressão da densidade de corrente em regime estacionário radial: J(rho)=I/l(2pirho Lr).
  3. Relação entre campo e diferença de potencial: V=integral Ecdot dl.
  4. Potência dissipada: pv=EcdotJ=sigma E^2, integrada no volume.

Passo 2

Vamos achar primeiro a densidade de corrente J e daí o campo E na região a.
Como a corrente está saindo radialmente e distribuída uniformemente ao redor do eixo, a área de seção à distância rho é
A(rho)=2pirho,L,
Logo,
J(rho)=IA(rho)=I2pirho,L,hatrho,
Pela lei de Ohm local, J=sigmaE, temos
E(rho)=J(rho)sigma=I2pisigma L,rho,hatrho,

Passo 3

Agora achamos a diferença de potencial entre as superfícies:
V=V(a)-V(b);=;integralb^a Ecdot dl =integralb^aI2pisigma L,rho,drho =I2pisigma Lln!l(abr),
Como a, ln(a/b)=-ln(b/a) e portanto tomamos valor positivo de |V|:
boxedV=I2pisigma L,ln!l(bar),
A resistência equivalente é
R=VI=12pisigma L,ln!l(bar),
Substituindo a=0,03,m e b=0,05,m, fica
R=12pi,(0,05),Lln0,050,03 approx1,625L;Omega,, V=I,Rapprox3times1,625Lapprox4,875L;V,

Passo 4

(b) Mostra que a potência dissipada no volume dá a potência total:
A densidade volumétrica de potência por Joule é
pv=EcdotJ=sigma E^2,
Integrando no volume cilíndrico entre a e b (comprimento L):
$$P_{\rm diss}
=\int_{V}\sigma E^2,dV
=\int_{0}{L}!!!\int_{0}{2\pi}!!!\int_{a}^{b}\sigma\Bigl(\frac{I}{2\pi\sigma L,\rho}\Bigr)^2,\rho,d\rho,d\phi,dz. Prm diss =integralVsigma E^2,dV =integral0^L!!!integral0^2pi!!!integrala^bsigmal(I2pisigma L,rhor)^2,rho,drho,dphi,dz P_{\rm diss}
=\frac{I^2}{(2\pi\sigma L)^2},\sigma,(2\pi L),\ln!\frac{b}{a}
=\frac{I^2}{2\pi\sigma L}\ln!\frac{b}{a}
=I^2,R
=I,V, $$
exatamente a potência total fornecida pela diferença de potencial.

Resposta

ΔV entre os cilindros:
V=I2pisigma Llnba,,
Resistência:
R=12pisigma Llnba,,
Campo elétrico na região a:
E(rho)=I2pisigma L,rho,hatrho,,
e a integral da potência volumétrica integralsigma E^2,dV dá exatamente P=I^2R=I,V,.

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