Duas superfícies condutoras perfeitas cilíndricas de comprimento L estão em
e
. A corrente total que sai radialmente do meio entre os cilindros é de 3 A . (a) Encontre a diferença de potencial e a resistência entre os cilindros, e
na região entre os cilindros, se um material condutor de
está presente em
. (b) Mostre que a integral sobre o volume da potência dissipada por unidade de volume dá a potência total dissipada.
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos duas superfícies cilíndricas condutoras perfeitas, de comprimento
, situadas em
cm e
cm, e nelas passa uma corrente total radial de
A. O espaço entre
é preenchido por um material condutor de condutividade
S/m.
Conteúdo: Resistência de um condutor cilíndrico em coordenadas cilíndricas, campo elétrico em regime estacionário, e potência dissipada por Joule.
O que vamos usar:
Conteúdo: Resistência de um condutor cilíndrico em coordenadas cilíndricas, campo elétrico em regime estacionário, e potência dissipada por Joule.
O que vamos usar:
- Lei de Ohm local:
. - Expressão da densidade de corrente em regime estacionário radial:
. - Relação entre campo e diferença de potencial:
. - Potência dissipada:
, integrada no volume.
Passo 2
Vamos achar primeiro a densidade de corrente
e daí o campo
na região
.
Como a corrente está saindo radialmente e distribuída uniformemente ao redor do eixo, a área de seção à distância é
Como a corrente está saindo radialmente e distribuída uniformemente ao redor do eixo, a área de seção à distância
Logo,
Pela lei de Ohm local,
, temos
Passo 3
Agora achamos a diferença de potencial entre as superfícies:
Como
,
e portanto tomamos valor positivo de
:
A resistência equivalente é
Substituindo
m e
m, fica
Passo 4
(b) Mostra que a potência dissipada no volume dá a potência total:
A densidade volumétrica de potência por Joule é
A densidade volumétrica de potência por Joule é
Integrando no volume cilíndrico entre
$$P_{\rm diss}
=\int_{V}\sigma E^2,dV
=\int_{0}{L}!!!\int_{0}{2\pi}!!!\int_{a}^{b}\sigma\Bigl(\frac{I}{2\pi\sigma L,\rho}\Bigr)^2,\rho,d\rho,d\phi,dz.
P_{\rm diss}
=\frac{I^2}{(2\pi\sigma L)^2},\sigma,(2\pi L),\ln!\frac{b}{a}
=\frac{I^2}{2\pi\sigma L}\ln!\frac{b}{a}
=I^2,R
=\frac{I^2}{2\pi\sigma L}\ln!\frac{b}{a}
=I^2,R
=I,V, $$
exatamente a potência total fornecida pela diferença de potencial.
exatamente a potência total fornecida pela diferença de potencial.
Resposta
ΔV entre os cilindros:
Resistência:
Campo elétrico na região
:
e a integral da potência volumétrica