Se a densidade volumétrica de carga é dada como
, encontre
. Assuma que
não é função de
ou
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade volumétrica de carga
e pede pra gente achar o vetor densidade de corrente , sabendo que
não depende de
nem de
.
Conteúdo envolvido: equação da continuidade (conservação de carga) e divergência em coordenadas esféricas.
e pede pra gente achar o vetor densidade de corrente
Conteúdo envolvido: equação da continuidade (conservação de carga) e divergência em coordenadas esféricas.
Passo 2
A teoria básica é a equação da continuidade:
Isso vem da conservação de carga elétrica. Como ρ varia no tempo, tem que ter corrente saindo ou entrando pra compensar.
Passo 3
Como
só depende de
e
e não tem componentes angulares (nem
, nem
), a gente assume
Em coordenadas esféricas, a divergência de um campo puramente radial é
Passo 4
Vamos calcular
:
Substituindo na continuidade:
Multiplica tudo por
:
Passo 5
Agora integra em
:
Como não queremos divergência infinita nem fontes extras no centro, a gente costuma escolher a constante de integração
.
Então
Então