Se a densidade volumétrica de carga é dada como rhov=(cos omega t) / r^2 C / m^2, encontre J. Assuma que J não é função de theta ou phi.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma densidade volumétrica de carga

e pede pra gente achar o vetor densidade de corrente , sabendo que não depende de nem de .
Conteúdo envolvido: equação da continuidade (conservação de carga) e divergência em coordenadas esféricas.

Passo 2

A teoria básica é a equação da continuidade:
partial rhovpartial t + nabla!cdot!vec J ;=;0
Isso vem da conservação de carga elétrica. Como ρ varia no tempo, tem que ter corrente saindo ou entrando pra compensar.

Passo 3

Como vec J = Jr(r,t),hat r só depende de nabla!cdot!vec J = 1r^2,partialpartial rl(r^2,Jr(r,t)r) e e não tem componentes angulares (nem , nem ), a gente assume
Em coordenadas esféricas, a divergência de um campo puramente radial é

Passo 4

Vamos calcular rhov=cosomega tr^2 Longrightarrow partialrhovpartial t = -omegasinomega tr^2 :
-omegasinomega tr^2 + 1r^2partialpartial rl(r^2Jrr)=0
Substituindo na continuidade:
-omegasinomega t + partialpartial r(r^2Jr)=0 ;;Longrightarrow;; partialpartial r(r^2Jr)=omegasinomega t
Multiplica tudo por :

Passo 5

Agora integra em r^2Jr(r,t) = integral omegasinomega t;dr = omegasinomega t;r + C(t) :
Jr(r,t) = omegasinomega tr
Como não queremos divergência infinita nem fontes extras no centro, a gente costuma escolher a constante de integração .
Então

Resposta

boxedvec J(r,t)=omega,sin(omega t)r,hat r

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