Duas superfícies planas grandes e paralelas, com emissividades de 0,6 e 0,8 , têm temperaturas de 700 K e 400 K , respectivamente. Calcule o fluxo líquido de calor por radiação entre as superfícies. Considere a constante de Stefan-Boltzmann: \sigma=5,67 \times 10^{-8} \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}^{4} Use o fator de correção para duas superfícies infinitas paralelas: \mathrm{q}=\sigma\left(\mathrm{T}_{1}{ }^{4}-\mathrm{T}_{2}{ }^{4}\right) /\left(1 / \varepsilon_{1}+1 / \varepsilon_{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo líquido de calor por radiação entre duas superfícies planas grandes e paralelas. Dados fornecidos:
\varepsilon_1 = 0,6,\qquad \varepsilon_2 = 0,8,
T_1 = 700\\ \mathrm{K},\qquad T_2 = 400\\ \mathrm{K},
\sigma = 5,67\times 10^{-8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}^4.
A fórmula a usar (fornecida no enunciado) é:
q = \frac{\sigma\left(T_1^{4}-T_2^{4}\right)}{1/\varepsilon_1 + 1/\varepsilon_2 - 1}.
A tarefa é calcular q numericamente (resultado em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2).

Passo 2

Entendendo a fórmula (aula curta e prática):
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e dá a potência emitida por um corpo negro por unidade de área e por T^4.
  • Para uma placa preta ideal (emissividade \varepsilon=1) a emissão é \sigma T^4. Aqui as superfícies não são negras, então aparece um “fator de resistência” \;1/\varepsilon\; para cada face: superfícies com menor emissividade trocam menos radiação efetiva.
  • O denominador 1/\varepsilon_1 + 1/\varepsilon_2 -1 representa a soma dessas resistências superficiais menos a correção pela geometria (aqui o fator de vista é 1 para superfícies paralelas infinitas).
  • Em palavras: o numerador é a diferença de potenciais radiativos ( \sigma T_1^4-\sigma T_2^4) e o denominador é a “resistência radiativa” total entre as superfícies. Tudo tem unidades de \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 3

Calcular o denominador passo a passo:
\frac{1}{\varepsilon_1} = \frac{1}{0,6} = \frac{5}{3},
\frac{1}{\varepsilon_2} = \frac{1}{0,8} = \frac{5}{4},
\frac{1}{\varepsilon_1} + \frac{1}{\varepsilon_2} - 1 = \frac{5}{3} + \frac{5}{4} - 1.
Colocando tudo sobre 12:
\frac{5}{3} = \frac{20}{12},\qquad \frac{5}{4}=\frac{15}{12},\qquad 1=\frac{12}{12},
\frac{20}{12}+\frac{15}{12}-\frac{12}{12}=\frac{23}{12}.
Em valor decimal:
\frac{23}{12}=1,916666\dots

Passo 4

Calcular T_1^{4} e T_2^{4}:
T_1^{2}=700^{2}=490000,
T_1^{4}=(700^{2})^{2}=490000^{2}=240100000000,
T_2^{2}=400^{2}=160000,
T_2^{4}=(400^{2})^{2}=160000^{2}=25600000000.
Diferença:
T_1^{4}-T_2^{4}=240100000000-25600000000=214500000000.

Passo 5

Calcular o numerador \sigma\left(T_1^{4}-T_2^{4}\right):
\sigma\left(T_1^{4}-T_2^{4}\right)=5,67\times10^{-8}\times 214500000000.
Faça a conta em etapas:
214500000000\times 5,67\times10^{-8}=214{,}5\times 10^{9}\times 5{,}67\times10^{-8}
=214{,}5\times 5{,}67\times10^{1}=1216{,}215\times10=12162{,}15.
Logo o numerador vale
12162{,}15\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 6

Dividir numerador pelo denominador para obter q:
q=\frac{12162{,}15}{23/12}=12162{,}15\cdot\frac{12}{23}.
Calcule:
12162{,}15\cdot\frac{12}{23}=\frac{145945{,}8}{23}=6345{,}469565\ldots
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais):
q\approx 6345{,}47\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Interpretação rápida: o número é positivo, o que indica fluxo de calor da superfície mais quente ( T_1=700\\ \mathrm{K}) para a mais fria ( T_2=400\\ \mathrm{K}). O valor é por unidade de área, já que as superfícies foram consideradas grandes/infinita.

Resposta

\displaystyle q = 6345{,}47\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2

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