Uma superfície metálica com área de 0,5 \mathrm{~m}^{2} e emissividade de 0,7 está a uma temperatura de 800 K . Calcule a potência irradiada pela superfície ( em W ). Use: \sigma=5,67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}^{4}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a potência irradiada pela superfície metálica em watts.
Dados fornecidos:
\;A = 0,5\\ \mathrm{m}^2 (área da superfície)
\;\varepsilon = 0,7 (emissividade da superfície)
\;T = 800\\ \mathrm{K} (temperatura)
\;\sigma = 5,67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}} (constante de Stefan–Boltzmann, fornecida)
Objetivo: encontrar a potência irradiada P em watts.

Passo 2

Princípio usado (aula rápida e direta): a lei de Stefan–Boltzmann dá a potência radiada por um corpo quase-ideal como
P = \varepsilon\,\sigma\,A\,T^{4}.
Explicando cada termo:
  • \;P é a potência irradiada (em \mathrm{W}).
  • \;\varepsilon é a emissividade adimensional (varia entre 0 e 1; 1 é corpo negro ideal).
  • \;\sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, em \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • \;A é a área em \mathrm{m}^2.
  • \;T é a temperatura absoluta em kelvin.
    Verificação de unidades: \sigma tem \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}, multiplicando por A ( \mathrm{m}^2) e por T^4 ( \mathrm{K}^4) resulta em \mathrm{W}, como desejado.

Passo 3

Calcular T^{4}. Primeiro:
T^{2} = 800^{2} = 640000.
Em seguida:
T^{4} = (T^{2})^{2} = 640000^{2} = 4,096\times10^{11}.
Portanto \;T^{4}=4,096\times10^{11}\\ \mathrm{K^{4}}.

Passo 4

Calcular \sigma T^{4}:
\sigma T^{4} = \left(5,67\times10^{-8}\right)\left(4,096\times10^{11}\right).
Multiplicando os coeficientes e somando expoentes:
5,67\times4,096 = 23,22432
e
10^{-8}\times10^{11}=10^{3}.
Logo
\sigma T^{4} = 23,22432\times10^{3}\\ \mathrm{W\,m^{-2}} = 23224,32\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
(Isto é a potência por unidade de área para um corpo com emissividade 1.)

Passo 5

Calcular o fator \varepsilon A:
\varepsilon A = 0,7 \times 0,5 = 0,35.
Isto é a fração da potência de um corpo negro que esta superfície realmente emite, multiplicada pela área.

Passo 6

Combinar tudo: a potência irradiada é
P = (\sigma T^{4}) \times (\varepsilon A) = 23224,32\\ \mathrm{W\,m^{-2}}\times 0,35.
Fizemos todas as operações intermediárias com cuidado (cálculo de T^{4}, multiplicação por \sigma, e pelo fator \varepsilon A). Agora só falta o produto final, que está abaixo na seção de resposta. Força aí — já quase acabou!

Resposta

8,13\times10^{3}\\ \mathrm{W}

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