Duas superfícies planas negras grandes são mantidas a 900 \mathrm{~K} \mathrm{e} 300^{\circ} \mathrm{C}. Uma terceira superfície plana grande tendo emissividade igual a 0,8 nas duas superfícies (esquerda e direta), com alto coeficiente de condução, é colocado entre as duas superfícies para reduzir o fluxo radiante pela metade, determine:
a. A temperatura do escudo térmico.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Temperatura da superfície quente: \,T_H=900\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura da superfície fria: \,T_C=300^\circ\mathrm{C}. Vou converter para kelvin: \,T_C=300+273{,}15=573{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Uma terceira superfície (o escudo) é colocada entre elas; o escudo é grande, tem alta condutividade (logo praticamente uma única temperatura) e tem emissividade igual a \,\varepsilon=0{,}8 em ambas as faces (esquerda e direita).
  • O escudo é colocado com a intenção de reduzir o fluxo radiante entre as superfícies. A pergunta (parte a) é: determinar a temperatura do escudo térmico.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • Lei de Stefan–Boltzmann para emissão de corpo negro: a emissão por unidade de área de uma superfície que está a temperatura \,T é \,\sigma T^4, onde \,\sigma é a constante de Stefan–Boltzmann ( \,\sigma\approx 5{,}670374\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}). Isto significa que a energia radiativa emitida cresce muito rápido com a temperatura (proporcional a T^4).
  • Para duas superfícies planas, paralelas, grandes e cinzentas (emissividades \varepsilon_1 e \varepsilon_2), o fluxo líquido de radiação por unidade de área entre elas é dado por
q=\frac{\sigma\big(T_1^4-T_2^4\big)}{\dfrac{1}{\varepsilon_1}+\dfrac{1}{\varepsilon_2}-1}.
Explicação da fórmula: o denominador representa as “resistências radiativas” associadas às emissividades das superfícies (superfícies menos emissivas refletem mais e reduzem o fluxo). Para superfícies negras ( \varepsilon=1) o denominador é 1 e q=\sigma(T_1^4-T_2^4).
  • No nosso problema há três superfícies em série (quente → escudo → frio). Como o escudo tem alta condutividade, ele se encontra em uma temperatura única \,T_s. Em regime estacionário o fluxo através do espaço entre quente e escudo deve ser igual ao fluxo entre escudo e frio (não há acumulação de energia no escudo). Vamos escrever essas duas expressões e igualá-las.

Passo 3

Aplicar a fórmula para cada face (detalhando cada termo).
  • Entre a superfície quente (é “negra”, então \varepsilon_H=1) e a face esquerda do escudo ( \varepsilon_{\text{esc},L}=\varepsilon=0{,}8):
q=\frac{\sigma\big(T_H^4-T_s^4\big)}{\dfrac{1}{\varepsilon_H}+\dfrac{1}{\varepsilon_{\text{esc},L}}-1} =\frac{\sigma\big(T_H^4-T_s^4\big)}{1+\dfrac{1}{0{,}8}-1}.
Calcule o denominador: 1+\dfrac{1}{0{,}8}-1=\dfrac{1}{0{,}8}=1{,}25. Portanto
q=\sigma\cdot 0{,}8\big(T_H^4-T_s^4\big).
  • Entre a face direita do escudo ( \varepsilon_{\text{esc},R}=\varepsilon=0{,}8) e a superfície fria ( \varepsilon_C=1):
q=\frac{\sigma\big(T_s^4-T_C^4\big)}{\dfrac{1}{\varepsilon_{\text{esc},R}}+\dfrac{1}{\varepsilon_C}-1} =\frac{\sigma\big(T_s^4-T_C^4\big)}{\dfrac{1}{0{,}8}+1-1} =\sigma\cdot 0{,}8\big(T_s^4-T_C^4\big).
  • Em regime estacionário os dois fluxos são iguais, portanto:
\sigma\cdot 0{,}8\big(T_H^4-T_s^4\big)=\sigma\cdot 0{,}8\big(T_s^4-T_C^4\big).
Podemos simplificar \sigma\cdot 0{,}8 (não nulo) e obter
T_H^4-T_s^4=T_s^4-T_C^4.
Rearranjando:
2\,T_s^4=T_H^4+T_C^4 \quad\Rightarrow\quad T_s^4=\frac{T_H^4+T_C^4}{2}.
Comentário didático: isso tem um significado físico simples — o escudo, em equilíbrio radiativo entre duas faces idênticas, fica tal que sua energia radiante (proporcional a T_s^4) é a média aritmética das energias radiantes das duas superfícies limites.
Observação importante (curiosidade útil para prova): note que a expressão para T_s não depende do valor de \varepsilon desde que as duas faces do escudo tenham a mesma emissividade e as placas externas sejam negras. O valor de \varepsilon afeta o valor do fluxo q, mas não a temperatura do escudo quando as faces do escudo são iguais.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo (converter e elevar a quarta potência).
  • Primeiro as temperaturas em kelvin (já convertidas):
T_H=900\\ \mathrm{K},\qquad T_C=573{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular T_H^4:
T_H^4=(900)^4=900^2\cdot900^2=(810000)^2=656100000000=6{,}561\times10^{11}.
  • Calcular T_C^4. Faço isso em dois passos: T_C^2 e depois o quadrado disso.
T_C^2=(573{,}15)^2=328500{,}9225.
Agora
T_C^4=(328500{,}9225)^2\approx107912856083{,}351\approx1{,}0791285608\times10^{11}.
(esses números foram obtidos elevando a quantidade com cuidado em duas etapas; o resultado mostrado tem precisão compatível com cálculos de prova).
  • Agora a média:
T_s^4=\frac{T_H^4+T_C^4}{2} =\frac{6{,}561\times10^{11}+1{,}0791285608\times10^{11}}{2} \approx3{,}8200642804\times10^{11}.
  • Para obter T_s tiramos a raiz quarta: faço duas raízes quadradas sucessivas.
    Primeira raiz quadrada:
\sqrt{T_s^4}\approx\sqrt{3{,}8200642804\times10^{11}}\approx618075{,}72.
Segunda raiz quadrada:
T_s=\sqrt{618075{,}72}\approx786{,}18\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (ajuda para a prova).
  • Resultado: o escudo atinge uma temperatura intermediária, mais próxima da temperatura mais alta (porque T_H domina em potência quarta). Num sentido prático: \,T_s é a “média das potências de quarta ordem” das temperaturas extremas.
  • Pequena verificação sobre o efeito do valor da emissividade: usando a expressão do Passo 3, o fluxo com o escudo, para emissividade \varepsilon nas duas faces, fica
q_{\text{com escudo}}=\sigma\,\varepsilon\frac{T_H^4-T_C^4}{2}.
Dividindo pelo fluxo sem escudo (entre superfícies negras) q_0=\sigma(T_H^4-T_C^4), obtemos
\frac{q_{\text{com escudo}}}{q_0}=\frac{\varepsilon}{2}.
Com \varepsilon=0{,}8 isto dá \dfrac{q_{\text{com escudo}}}{q_0}=0{,}4: o fluxo fica com 40% do original, ou seja, reduz para 40% (redução de 60%). Observação útil para a prova: se o escudo fosse perfeitamente negro ( \varepsilon=1), a redução seria exatamente para 50% do fluxo original e aí o escudo teria a mesma temperatura calculada acima.

Resposta

T_s\approx786{,}18\\ \mathrm{K}

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