Duas superfícies planas negras grandes são mantidas a
. Uma terceira superfície plana grande tendo emissividade igual a 0,8 nas duas superfícies (esquerda e direta), com alto coeficiente de condução, é colocado entre as duas superfícies para reduzir o fluxo radiante pela metade, determine:
a. A temperatura do escudo térmico.
a. A temperatura do escudo térmico.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- Temperatura da superfície quente:
. - Temperatura da superfície fria:
. Vou converter para kelvin: . - Uma terceira superfície (o escudo) é colocada entre elas; o escudo é grande, tem alta condutividade (logo praticamente uma única temperatura) e tem emissividade igual a
em ambas as faces (esquerda e direita). - O escudo é colocado com a intenção de reduzir o fluxo radiante entre as superfícies. A pergunta (parte a) é: determinar a temperatura do escudo térmico.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
- Lei de Stefan–Boltzmann para emissão de corpo negro: a emissão por unidade de área de uma superfície que está a temperatura
é , onde é a constante de Stefan–Boltzmann ( ). Isto significa que a energia radiativa emitida cresce muito rápido com a temperatura (proporcional a ). - Para duas superfícies planas, paralelas, grandes e cinzentas (emissividades
e ), o fluxo líquido de radiação por unidade de área entre elas é dado por
Explicação da fórmula: o denominador representa as “resistências radiativas” associadas às emissividades das superfícies (superfícies menos emissivas refletem mais e reduzem o fluxo). Para superfícies negras (
) o denominador é 1 e
.
- No nosso problema há três superfícies em série (quente → escudo → frio). Como o escudo tem alta condutividade, ele se encontra em uma temperatura única
. Em regime estacionário o fluxo através do espaço entre quente e escudo deve ser igual ao fluxo entre escudo e frio (não há acumulação de energia no escudo). Vamos escrever essas duas expressões e igualá-las.
Passo 3
Aplicar a fórmula para cada face (detalhando cada termo).
- Entre a superfície quente (é “negra”, então
) e a face esquerda do escudo ( ):
Calcule o denominador:
. Portanto
- Entre a face direita do escudo (
) e a superfície fria ( ):
- Em regime estacionário os dois fluxos são iguais, portanto:
Podemos simplificar
(não nulo) e obter
Rearranjando:
Comentário didático: isso tem um significado físico simples — o escudo, em equilíbrio radiativo entre duas faces idênticas, fica tal que sua energia radiante (proporcional a
) é a média aritmética das energias radiantes das duas superfícies limites.
Observação importante (curiosidade útil para prova): note que a expressão para
não depende do valor de
desde que as duas faces do escudo tenham a mesma emissividade e as placas externas sejam negras. O valor de
afeta o valor do fluxo
, mas não a temperatura do escudo quando as faces do escudo são iguais.
Passo 4
Cálculo numérico passo a passo (converter e elevar a quarta potência).
- Primeiro as temperaturas em kelvin (já convertidas):
- Calcular
:
- Calcular
. Faço isso em dois passos: e depois o quadrado disso.
Agora
(esses números foram obtidos elevando a quantidade com cuidado em duas etapas; o resultado mostrado tem precisão compatível com cálculos de prova).
- Agora a média:
- Para obter
tiramos a raiz quarta: faço duas raízes quadradas sucessivas.
Primeira raiz quadrada:
Segunda raiz quadrada:
Passo 5
Interpretação e verificação rápida (ajuda para a prova).
- Resultado: o escudo atinge uma temperatura intermediária, mais próxima da temperatura mais alta (porque
domina em potência quarta). Num sentido prático: é a “média das potências de quarta ordem” das temperaturas extremas. - Pequena verificação sobre o efeito do valor da emissividade: usando a expressão do Passo 3, o fluxo com o escudo, para emissividade
nas duas faces, fica
Dividindo pelo fluxo sem escudo (entre superfícies negras)
, obtemos
Com
isto dá
: o fluxo fica com 40% do original, ou seja, reduz para 40% (redução de 60%). Observação útil para a prova: se o escudo fosse perfeitamente negro (
), a redução seria exatamente para 50% do fluxo original e aí o escudo teria a mesma temperatura calculada acima.