Duas vibrações senoidais atuam sobre um sistema:
x 1(t)=0,02 \cos (10 \mathrm{t}) e x 2(t)=0,02 \cos (10 \mathrm{t}+\pi / 4). Determine a resultante da vibração combinada.

Passo 1

O enunciado dá duas vibrações senoidais e pede a vibração resultante (a soma das duas). Informações fornecidas:
  • x_1(t)=0,02\cos\!\bigl(10t\bigr).
  • x_2(t)=0,02\cos\!\bigl(10t+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
    O que se quer: escrever x(t)=x_1(t)+x_2(t) como uma única função senoidal do tipo A\cos\!\bigl(10t+\varphi\bigr), indicando A (amplitude) e \varphi (fase).

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica útil para somar dois cossenos de mesma frequência:
\cos A + \cos B = 2\cos\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr).
Explicando essa fórmula de forma simples: ela transforma a soma de dois cossenos em um produto de dois cossenos — um que depende da posição média dos ângulos A e B e outro que depende da meia-diferença entre eles. Aqui A e B serão as fases instantâneas das duas vibrações (aqui A=10t e B=10t+\tfrac{\pi}{4}).

Passo 3

Aplicando a identidade com A=10t e B=10t+\tfrac{\pi}{4}:
x(t)=0,02\cos\!\bigl(10t\bigr)+0,02\cos\!\bigl(10t+\tfrac{\pi}{4}\bigr) =0,02\bigl[\cos A+\cos B\bigr].
Usando a identidade:
\cos A+\cos B = 2\cos\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr).
Calculemos \tfrac{A+B}{2} e \tfrac{A-B}{2}:
\tfrac{A+B}{2}= \tfrac{10t + (10t+\tfrac{\pi}{4})}{2}=10t+\tfrac{\pi}{8}, \qquad \tfrac{A-B}{2}= \tfrac{10t - (10t+\tfrac{\pi}{4})}{2}=-\tfrac{\pi}{8}.
Como \cos(-\theta)=\cos\theta, temos \cos\!\bigl(-\tfrac{\pi}{8}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr). Portanto
x(t)=0,02\cdot 2\cos\!\bigl(10t+\tfrac{\pi}{8}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) =0,04\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)\cos\!\bigl(10t+\tfrac{\pi}{8}\bigr).

Passo 4

Agora vamos achar \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr) de forma exata usando a fórmula do semângulo. Sabendo que \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, então
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{8}\bigr)=\sqrt{\dfrac{1+\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)}{2}} =\sqrt{\dfrac{1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}} =\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}} =\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.
Substituindo na expressão de x(t):
x(t)=0,04\cdot \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cos\!\bigl(10t+\tfrac{\pi}{8}\bigr) =0,02\sqrt{2+\sqrt{2}}\;\cos\!\bigl(10t+\tfrac{\pi}{8}\bigr).
Essa é a forma exata: amplitude A=0,02\sqrt{2+\sqrt{2}} e fase \varphi=\tfrac{\pi}{8}.

Passo 5

Vamos também dar a amplitude numérica para ter uma noção prática. Calcúla-se
\sqrt{2+\sqrt{2}}\approx 1,847759065\dots
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A=0,02\sqrt{2+\sqrt{2}}\approx 0,02\times 1,847759065\approx 0,03695518.
Arredondando, A\approx 0,03696. A fase \varphi=\tfrac{\pi}{8} corresponde a 22,5^\circ.

Passo 6

Interpretação rápida e método alternativo (intuição): as duas ondas têm mesma frequência e amplitudes iguais; a diferença de fase é \tfrac{\pi}{4}. Quando soma-se duas ondas iguais com diferença de fase \Delta\varphi, o resultado tem amplitude 2a\cos\!\bigl(\tfrac{\Delta\varphi}{2}\bigr) e fase deslocada em \tfrac{\Delta\varphi}{2} em relação à primeira onda. Aqui a=0,02 e \Delta\varphi=\tfrac{\pi}{4}, o que dá exatamente o resultado obtido acima. Isso serve como checagem e é rápido de aplicar na prova.

Resposta

x(t)=0,02\sqrt{2+\sqrt{2}}\;\cos\!\bigl(10t+\tfrac{\pi}{8}\bigr)\approx 0,03695518\cos\!\bigl(10t+\tfrac{\pi}{8}\bigr)

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