7)A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem é descrita por uma variável aleatória Normal de média 60.000 km e desvio padrão de 8.300 km .
a) Se a Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000 km , qual a proporção de pneus que deverão ser trocados pela garantia? [0,0735]
b) Qual a proporção de pneus que duram entre 65.000 km e 73.000 km ?
c) Qual deveria ser a garantia ( em km ) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo 2 \% dos pneus?
[ X=42.985 \mathrm{~km} ]

Passo 1

O enunciado diz que a durabilidade X segue uma distribuição normal com média 60000 km e desvio padrão 8300 km, ou seja
X \sim \mathcal{N}(60000,8300^2).
Precisamos calcular
(a) P(X \le 48000),
(b) P(65000 \le X \le 73000)
e
(c) o valor x tal que P(X \le x)=0,02.
Para isso, vamos usar a padronização
Z = \frac{X - 60000}{8300},
onde Z é uma normal padrão.

Passo 2

Para (a) temos
P(X \le 48000) = P\Bigl(Z \le \frac{48000 - 60000}{8300}\Bigr) = P\bigl(Z \le -1,4458\bigr).
Pela simetria da normal padrão,
P(Z \le -1,4458) = 1 - P(Z \le 1,4458) \approx 1 - 0,9265 = 0,0735.

Passo 3

Para (b) escrevemos
P(65000 \le X \le 73000) = P\Bigl(\frac{65000 - 60000}{8300} \le Z \le \frac{73000 - 60000}{8300}\Bigr) = P(0,6024 \le Z \le 1,5663).
Da tabela da normal padrão,
P(Z \le 1,5663)\approx 0,9414, \quad P(Z \le 0,6024)\approx 0,7265,
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P(65000 \le X \le 73000) \approx 0,9414 - 0,7265 = 0,2149.

Passo 4

Para (c) queremos x tal que
P(X \le x) = 0{,}02 \;\Longrightarrow\; P\Bigl(Z \le \frac{x - 60000}{8300}\Bigr) = 0{,}02.
Pela tabela inversa, z_{0,02}\approx -2,0537. Então
\frac{x - 60000}{8300} = -2,0537 \quad\Longrightarrow\quad x = 60000 - 2,0537 \times 8300 \approx 42985.

Resposta

(a) 0,0735
(b) 0,2149
(c) 42985 km

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