1. A duração de certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio padrão 45 dias. Qual a probabilidade do componente durar:
    a) entre 700 e 1000 dias; [0,99914]
    b) menos que 750 dias; [0,01321]
    c) mais que 850 dias; [0,5]
    d) Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor 5 \% dos componentes.

Passo 1

O enunciado informa que a duração X do componente segue uma distribuição normal com média \mu = 850 dias e desvio padrão \sigma = 45 dias. Vamos usar a padronização
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
e a função de distribuição acumulada \Phi(z) da normal padrão para calcular as probabilidades e o quantil pedido.

Passo 2

Queremos
P(700 < X < 1000) \;=\; P\Bigl(\frac{700-850}{45} < Z < \frac{1000-850}{45}\Bigr).
Calculando os z-valores:
z_1 = \frac{700 - 850}{45} = -3{,}33,\qquad z_2 = \frac{1000 - 850}{45} = +3{,}33.
Na tabela da normal padrão temos \Phi(3{,}33)\approx 0{,}99957. Como \Phi(-3{,}33) = 1 - \Phi(3{,}33)\approx 0{,}00043,
P(700<X<1000) = \Phi(3{,}33) - \Phi(-3{,}33) \approx 0{,}99957 - 0{,}00043 = 0{,}99914.

Passo 3

Para P(X<750) padronizamos:
z = \frac{750 - 850}{45} = -2{,}22.
Na tabela \Phi(-2{,}22)\approx 0{,}01321. Logo
P(X<750) = 0{,}01321.

Passo 4

Para P(X>850) temos
P(X>850) = 1 - P(X\le850) = 1 - \Phi\bigl(\tfrac{850-850}{45}\bigr) = 1 - \Phi(0) = 1 - 0{,}5 = 0{,}5.

Passo 5

Procuramos o valor t tal que P(X < t)=0{,}05. Na normal padrão o percentil de 5\% é z_{0{,}05}\approx -1{,}645. Então
t = \mu + z_{0{,}05}\,\sigma = 850 + (-1{,}645)\times 45 \approx 850 - 74{,}0 = 776\text{ dias (aprox.)}.

Resposta

a) 0{,}99914
b) 0{,}01321
c) 0{,}5
d) Aproximadamente 776 dias.

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