A duração da gestação \left(t_{g}\right) também segue uma relação da forma t_{g} \propto m^{1 / 4}. A partir do tempo de gestação de uma gata ( \mathrm{m}_{\mathrm{G}} \approx 4 \mathrm{~kg} e t_{g}=2,3 mês ), calcule a duração da gestação t_{g} (em meses) de:
uma égua ( \mathrm{m}_{\mathrm{e}}=500 \mathrm{~kg} );

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: calcular a duração da gestação \,t_{g} (em meses) de uma égua com massa \,m_{\mathrm{e}}=500 kg.
  • É dado que a duração da gestação segue a lei de proporcionalidade \,t_{g}\propto m^{1/4}.
  • Dados fornecidos para calibrar a constante: para uma gata, \,m_{\mathrm{G}} \approx 4 kg e \,t_{g}=2{,}3 meses.
  • Resumo dos dados (em forma clara): m_{\mathrm{G}}=4,\quad t_{g,\mathrm{G}}=2{,}3,\quad m_{\mathrm{e}}=500,\quad t_{g,\mathrm{e}}=\;?

Passo 2

Traduzindo a proporcionalidade em fórmula e definindo as variáveis:
  • A relação \,t_{g}\propto m^{1/4} significa que existe uma constante \,k tal que t_{g}=k\,m^{1/4}.
  • Aqui \,t_{g} é o tempo de gestação (meses), \,m é a massa (kg) e \,k é uma constante que vale para todas as espécies seguindo essa lei.
  • Objetivo prático: encontrar \,t_{g,\mathrm{e}} para \,m_{\mathrm{e}}=500 sabendo \,t_{g,\mathrm{G}} e \,m_{\mathrm{G}}.

Passo 3

Eliminar a constante \,k usando razão entre a égua e a gata (truque comum e prático):
  • Escrevendo a fórmula para cada espécie: t_{g,\mathrm{G}}=k\,m_{\mathrm{G}}^{1/4},\qquad t_{g,\mathrm{e}}=k\,m_{\mathrm{e}}^{1/4}.
  • Dividindo a segunda pela primeira para cancelar \,k: \frac{t_{g,\mathrm{e}}}{t_{g,\mathrm{G}}}=\frac{k\,m_{\mathrm{e}}^{1/4}}{k\,m_{\mathrm{G}}^{1/4}}=\left(\frac{m_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{G}}}\right)^{1/4}.
  • Portanto, t_{g,\mathrm{e}}=t_{g,\mathrm{G}}\left(\frac{m_{\mathrm{e}}}{m_{\mathrm{G}}}\right)^{1/4}.
  • Esse método é ótimo na prova porque evita calcular \,k explicitamente e reduz erros de arredondamento.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e simplificar a expressão:
  • Substituindo \,t_{g,\mathrm{G}}=2{,}3, \,m_{\mathrm{e}}=500 e \,m_{\mathrm{G}}=4: t_{g,\mathrm{e}}=2{,}3\left(\frac{500}{4}\right)^{1/4}=2{,}3\cdot 125^{1/4}.
  • Observação: \,\dfrac{500}{4}=125. Então precisamos calcular \,125^{1/4}, que é a raiz quarta de \,125.

Passo 5

Calcular \,125^{1/4} de forma simples e aproximada (passo a passo, sem pular etapas):
  • Uma forma prática: \,125^{1/4}=\sqrt{\sqrt{125}}.
  • Primeiro calcule \sqrt{125}. Note que \,125=25\cdot5, então \sqrt{125}=\sqrt{25\cdot5}=5\sqrt{5}.
  • Usando a aproximação \,\sqrt{5}\approx 2{,}23607, temos \sqrt{125}=5\cdot 2{,}23607\approx 11{,}18034.
  • Agora calcule a raiz quadrada desse resultado para obter a raiz quarta: 125^{1/4}=\sqrt{11{,}18034}\approx 3{,}3437.
  • Finalmente multiplique por \,2{,}3: t_{g,\mathrm{e}}=2{,}3\times 3{,}3437.
  • Multiplicando passo a passo: 2\times 3{,}3437=6{,}6874,\qquad 0{,}3\times 3{,}3437=1{,}00311,
6{,}6874+1{,}00311=7{,}69051.
  • Assim obtemos \,t_{g,\mathrm{e}}\approx 7{,}69051 meses.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final:
  • Arredondando para duas casas decimais, \,t_{g,\mathrm{e}}\approx 7{,}69 meses.
  • Se quiser interpretar em meses e dias: 0{,}69 mês ≈ 0{,}69\times 30 dias ≈ 20{,}7 dias, ou seja, cerca de 7 meses e 21 dias — só para ter uma intuição prática.
  • Para a prova normalmente basta dar o valor em meses com 1–2 casas decimais.

Resposta

\,7{,}69 meses

Exercícios relacionados