A duração da gestação \left(t_{g}\right) também segue uma relação da forma t_{g} \propto m^{1 / 4}. A partir do tempo de gestação de uma gata ( \mathrm{m}_{\mathrm{G}} \approx 4 \mathrm{~kg} e t_{g}=2,3 mês ), calcule a duração da gestação t_{g} (em meses) de:
uma elefanta ( \mathrm{m}_{\mathrm{E}}=4500 \mathrm{~kg} ).

Passo 1

O enunciado diz que a duração da gestação t_{g} satisfaz uma relação de proporcionalidade do tipo t_{g}\propto m^{1/4}. Pediu-se para calcular a duração da gestação t_{g} (em meses) de uma elefanta com massa \mathrm{m}_{\mathrm{E}}=4500\\ \mathrm{kg}, usando como informação de referência a gata com massa \mathrm{m}_{\mathrm{G}}\approx 4\\ \mathrm{kg} e gestação t_{g}=2{,}3 meses. Informações relevantes listadas:
  • Lei dada: t_{g}\propto m^{1/4}.
  • Referência (gata): \mathrm{m}_{\mathrm{G}}=4\\ \mathrm{kg} e t_{g,\mathrm{G}}=2{,}3 meses.
  • Pedido: t_{g,\mathrm{E}} para \mathrm{m}_{\mathrm{E}}=4500\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Interpretando a proporcionalidade: quando dizemos t_{g}\propto m^{1/4} significa que existe uma constante k tal que
t_{g} = k\,m^{1/4},
onde m é a massa e k é a mesma constante para todos os animais neste modelo. Aqui k tem unidades de meses dividido por \mathrm{kg}^{1/4}, de modo que o produto k\,m^{1/4} dá meses. A estratégia é:
  1. Determinar k usando os dados da gata.
  2. Calcular t_{g} para a elefanta usando esse k.

Passo 3

Usando a gata para achar k. Substituímos m= \mathrm{m}_{\mathrm{G}}=4 e t_{g}=2{,}3 na fórmula t_{g}=k\,m^{1/4}, obtendo
k = \frac{t_{g,\mathrm{G}}}{\mathrm{m}_{\mathrm{G}}^{1/4}} = \frac{2{,}3}{4^{1/4}}.
Calculando 4^{1/4}: primeiro \sqrt{4}=2 e depois \sqrt{2} dá a quarta raiz, então
4^{1/4} = \sqrt{\sqrt{4}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41421356.
Logo
k \approx \frac{2{,}3}{1{,}41421356} \approx 1{,}6266\\ \text{(meses}\cdot\mathrm{kg}^{-1/4}\text{)}.

Passo 4

Calcular t_{g} para a elefanta com \mathrm{m}_{\mathrm{E}}=4500\\ \mathrm{kg} usando t_{g}=k\,m^{1/4}. Substituindo k em termos de t_{g,\mathrm{G}} e \mathrm{m}_{\mathrm{G}} podemos simplificar a expressão:
t_{g,\mathrm{E}} = k\,\mathrm{m}_{\mathrm{E}}^{1/4} = t_{g,\mathrm{G}}\;\frac{\mathrm{m}_{\mathrm{E}}^{1/4}}{\mathrm{m}_{\mathrm{G}}^{1/4}} = t_{g,\mathrm{G}}\left(\frac{\mathrm{m}_{\mathrm{E}}}{\mathrm{m}_{\mathrm{G}}}\right)^{1/4}.
Isto evita calcular k separadamente, usando direto a razão de massas.

Passo 5

Calcule a razão das massas e a quarta raiz:
\frac{\mathrm{m}_{\mathrm{E}}}{\mathrm{m}_{\mathrm{G}}} = \frac{4500}{4} = 1125.
Queremos \displaystyle 1125^{1/4}. Para facilitar, fatoramos 1125:
1125 = 9\times 125 = 3^{2}\times 5^{3}.
A quarta raiz é
1125^{1/4} = (3^{2}\times 5^{3})^{1/4} = 3^{2/4}\times 5^{3/4} = 3^{1/2}\times 5^{3/4}.
Agora calculamos numericamente em passos:
  • 3^{1/2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73205.
  • 5^{1/2} = \sqrt{5} \approx 2{,}23607.
  • 5^{1/4} = \sqrt{\sqrt{5}} \approx \sqrt{2{,}23607} \approx 1{,}49535.
  • Então 5^{3/4} = 5^{1/2}\cdot 5^{1/4} \approx 2{,}23607\times 1{,}49535 \approx 3{,}3417.
    Multiplicando:
1125^{1/4} \approx 1{,}73205 \times 3{,}3417 \approx 5{,}789.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula simplificada:
t_{g,\mathrm{E}} = t_{g,\mathrm{G}}\left(\frac{\mathrm{m}_{\mathrm{E}}}{\mathrm{m}_{\mathrm{G}}}\right)^{1/4} \approx 2{,}3 \times 5{,}789 \approx 13{,}335.
Arredondando sensatamente (por exemplo, uma casa decimal, já que o dado original 2{,}3 tem uma casa decimal), obtemos t_{g,\mathrm{E}}\approx 13{,}3 meses. Boa! Mesmo sendo um modelo simplificado, é assim que se aplica a lei de potência na prova: achar a constante com um caso conhecido e escalar para o novo caso usando a razão das massas.

Resposta

13{,}3\\ \text{meses}

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