A duração das lâmpadas produzidas por certo fabricante tem distribuição normal com média igual a 1200 horas e desvio padrão igual a 300 horas. O fabricante introduz um novo processo na produção das lâmpadas. Para verificar se o novo processo produz lâmpadas de maior duração, o fabricante observa 100 lâmpadas produzidas pelo novo processo e constata que as mesmas duram em média 1265 horas. Admitindo-se um nível de significância de 5 %, pode-se concluir que o novo processo produz lâmpadas com maior duração?
H0: mu=1200
H1: mu>1200

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que as lâmpadas antigas têm duração ~ Normal(μ=1200 h, σ=300 h). Com o novo processo, pegamos uma amostra de n=100 lâmpadas e vimos que a média delas foi x̄=1265 h. Queremos, a 5% de siginificância, testar
H₀: μ=1200
H₁: μ>1200
Ou seja, é um teste de hipótese para a média de uma normal com desvio padrão conhecido. Vamos usar o teste z.

Passo 2

Teoria rapidinha: quando a variável é normal e σ é conhecido, usamos a estatística de teste
z ;=;bar x - mu0sigma/raizn
Ela segue uma Normal Padrão sob H₀. A ideia é comparar esse z com o valor crítico zₐ para α=0,05 em um teste unilateral à direita. Esse zₐ satisfaz
P(Z > zalpha)=0.05Rightarrow z0.05approx1.645

Passo 3

Calcular o z com nossos números:
z = 1265 - 1200300/raiz100 ;=;65300/10 ;=;6530 approx2,17

Passo 4

Agora, como z≈2,17 é maior que zₐ=1,645, ele cai na região crítica (à direita). Isso significa que a diferença de média não é só por acaso no nível de 5%.

Resposta

Rejeitamos H₀. Com 5% de significância, há evidência de que o novo processo produz lâmpadas com duração maior que 1200 h.

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