O fabricante de certa marca de suco informa que as embalagens de seu produto têm em média 500 ml, com desvio padrão igual a 10 ml. Tendo sido encontradas no mercado algumas embalagens com menos de 500 ml, suspeita-se que a informação do fabricante seja falsa. Para verificar se isto ocorre, um fiscal analisa uma amostra de 200 embalagens escolhidas aleatoriamente no mercado e constata que as mesmas contêm em média 498 ml. Considerando-se um nível de significância de 5%, pode-se afirmar que o fabricante está mentindo? Calcule o valor da prova para esta amostra.
H0: mu=500
H1: mu<500

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o fabricante afirma que cada embalagem tem em média μ₀ = 500 ml, com σ = 10 ml. A gente achou embalagens com média amostral \bar x = 498 ml em n = 200 unidades e quer testar, ao nível α = 5%, se a média real é menor que 500 ml. O conteúdo é teste de hipótese para média com desvio padrão conhecido (teste z) e vamos precisar da fórmula do z e da tabela da normal padrão pra achar o p-valor.

Passo 2

Teoria:
  1. Escrevemos as hipóteses:
H0: mu = 500 vs H1: mu < 500
  1. Como σ é conhecido, usamos a estatística
z = bar x - mu0sigma/raizn
  1. Para um teste unilateral à esquerda, o p-valor é
p = P(Z <= zcalc),
onde Z~N(0,1).

Passo 3

Vamos aos dados:
– n = 200
– σ = 10
– \bar x = 498
– μ₀ = 500
– α = 0,05

Passo 4

Calculando o z:
z = 498 - 50010/raiz200 = -210/14,1421 = -20,7071 approx -2,8284

Passo 5

Agora o p-valor:
p = P(Z <= -2,8284) approx 0,0023,
pegando na tabela da normal padrão.

Passo 6

Como p ≈ 0,0023 é bem menor que α = 0,05, a gente rejeita H₀ e aceita H₁, ou seja, há evidência de que a média real é menor que 500 ml.

Resposta

O p-valor é aproximadamente 0,0023. Como ele é < 0,05, rejeitamos H₀ e concluímos que o fabricante provavelmente está “mentindo” (a média real fica abaixo de 500 ml).

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