A duração de vida de uma lâmpada segue uma va exponencial com média igual a 1 (em unidades de 100 horas).
Se a lâmpada já durou 50 horas ache a probabilidade dela durar mais de 200 horas.
Se a lâmpada já durou 50 horas ache a probabilidade dela durar mais de 200 horas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a duração de vida de uma lâmpada que segue uma distribuição exponencial, com média igual a 1 (em unidades de 100 horas). Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de essa lâmpada durar mais de 200 horas, dado que ela já durou 50 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo até a ocorrência de um evento, como a vida útil de uma lâmpada. A distribuição exponencial é definida por um parâmetro λ (lambda), que representa a taxa de ocorrência do evento. A média (esperança) dessa distribuição é dada por
.
Passo 3
No nosso caso, a média é igual a 1 (em unidades de 100 horas). Então, temos:
Isso significa que a taxa λ é 1 por 100 horas.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de a lâmpada durar mais de 200 horas, dado que ela já durou 50 horas. Isso é um caso clássico de probabilidade condicional na distribuição exponencial, que possui a propriedade de “memória sem memória”. Ou seja, a probabilidade futura não depende do que já aconteceu.
Passo 5
A propriedade de falta de memória da distribuição exponencial nos diz que:
No nosso problema,
horas e
horas (porque queremos totalizar 200 horas). Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. A função de sobrevivência para a distribuição exponencial é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 7
Calculando
:
Resposta
A probabilidade da lâmpada durar mais de 200 horas, dado que ela já durou 50 horas, é aproximadamente 22,31%.