Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson de parâmetros
e
, respectivamente. Encontre a função geratriz de momentos para a variável
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas variáveis aleatórias, X e Y, que seguem distribuições de Poisson com os parâmetros
e
, respectivamente. Elas são independentes, ou seja, o que acontece com uma não afeta a outra. A gente precisa encontrar a função geratriz de momentos da variável Z, que é a soma de X e Y (
). Para isso, vamos precisar entender o que é a função geratriz de momentos e como ela se comporta com variáveis aleatórias independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função geratriz de momentos (FGM). A FGM de uma variável aleatória
é definida como:
Isso significa que a FGM é o valor esperado de
, onde
é um parâmetro real.
Passo 3
Agora, como X e Y são independentes, a FGM da soma delas, Z = X + Y, é o produto das FGM individuais de X e Y. Ou seja:
Essa propriedade é muito útil porque facilita o cálculo da FGM da soma.
Passo 4
Vamos encontrar a FGM de X. Sabemos que X segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. A FGM de uma variável de Poisson é dada por:
Passo 5
De forma similar, Y segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
, então a FGM de Y é:
Passo 6
Agora, substituímos as FGMs de X e Y na expressão de
:
Resposta
A função geratriz de momentos da variável
é: