Durante a análise do espectro de emissão de um cátion monoeletrônico desconhecido (espécie com apenas 1 elétron), foi observada uma linha espectral no ultravioleta, com comprimento de onda de 97,3 \mathrm{~nm}. Acredita-se que essa transição partiu de um nível inicial \mathrm{n}_{i}=3 e terminou em \mathrm{n}_{f}=1.
Sabendo que a energia do fóton emitido é dada por:
E=\frac{h c}{\lambda}
e que a energia dos níveis de uma espécie hidrogenóide é dada por:
E_{n}=-13,6 \frac{Z^{2}}{n^{2}}(\mathrm{eV})
onde:
\begin{gathered} h=4,135667696 \times 10^{-15} \mathrm{eV} / \mathrm{s} \\\ c=3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{gathered}
a) Calcule a energia do fóton emitido nessa transição (em eV).
b) Utilizando os dados da transição e a equação dos níveis de energia, determine o número atômico Z do cátion responsável pela emissão.
c) Qual seria a energia de ionização (em eV) desse cátion no estado fundamental?
d) Esse cátion pode pertencer a um elemento natural? Justifique com base no valor de Z encontrado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
Dados do enunciado:
  • Comprimento de onda observado: \lambda=97,3\\ \mathrm{nm}.
  • Transição: nível inicial \,n_i=3, nível final \,n_f=1.
  • Fórmula da energia do fóton: E=\frac{h c}{\lambda}.
  • Fórmula dos níveis de energia de uma espécie hidrogenoide: E_n=-13,6\,\frac{Z^{2}}{n^{2}}\\ (\mathrm{eV}).
  • Constantes fornecidas:
    • h=4,135667696\times10^{-15}\\ \mathrm{eV\cdot s}.
    • c=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O que o enunciado pede:
a) Calcular a energia do fóton emitido (em eV).
b) Determinar o número atômico Z do cátion responsável.
c) Calcular a energia de ionização desse cátion no estado fundamental (em eV).
d) Dizer se esse cátion pode pertencer a um elemento natural e justificar (com base em Z).

Passo 2

Converter unidades e calcular a energia do fóton usando \displaystyle E=\frac{h c}{\lambda}.
Primeiro converter \lambda para metros:
\lambda = 97,3\\ \mathrm{nm} = 97,3\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
Agora aplicar a fórmula. Substituindo os valores dados:
E=\frac{(4,135667696\times10^{-15}\\ \mathrm{eV\cdot s})\,(3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})}{97,3\times10^{-9}\\ \mathrm{m}}.
Faço a multiplicação no numerador:
h c = 4,135667696\times10^{-15}\times3,0\times10^{8} =1,240700309\times10^{-6}\\ \mathrm{eV\cdot m}.
Dividindo pelo comprimento de onda:
E=\frac{1,240700309\times10^{-6}}{97,3\times10^{-9}} =\frac{1,240700309\times10^{-6}}{9,73\times10^{-8}}.
Calcule a razão (mostrando a ideia do cálculo sem pular etapas):
\frac{1,240700309\times10^{-6}}{9,73\times10^{-8}} =\left(\frac{1,240700309}{9,73}\right)\times10^{2}.
\frac{1,240700309}{9,73}\approx0,127499\quad\Rightarrow\quad E\approx0,127499\times10^{2}=12,7499\\ \mathrm{eV}.
Arredondando de forma apropriada (o comprimento de onda tem três algarismos significativos), fica:
E\approx12,75\\ \mathrm{eV}.
Breve explicação física: essa fórmula dá a energia de um fóton com comprimento de onda \lambda. A energia cresce quando \lambda diminui (ultravioleta tem energia maior que visible).

Passo 3

Determinar Z usando a equação dos níveis de energia.
A energia emitida no salto de n_i para n_f é a diferença entre os níveis:
E_{\text{fóton}}=E_{i}-E_{f}=-13,6\,Z^{2}\!\left(\frac{1}{n_{i}^{2}}-\frac{1}{n_{f}^{2}}\right).ó
Reorganizando o sinal (mais comum escrever em termos de 1/n_f^2-1/n_i^2):
E_{\text{fóton}}=13,6\,Z^{2}\!\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right).ó
Substituindo n_{f}=1 e n_{i}=3:
\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.
Logo:
E_{\text{fóton}}=13,6\,Z^{2}\cdot\frac{8}{9}.ó
Isolando Z^{2}:
Z^{2}=\frac{E_{\text{fóton}}\cdot9}{13,6\cdot8}.ó
Substituindo E_{\text{fóton}}\approx12,7499\\ \mathrm{eV}ó:
Z^{2}=\frac{12,7499\cdot9}{13,6\cdot8} =\frac{114,7491}{108,8}\approx1,054847.
Portanto:
Z=\sqrt{1,054847}\approx1,027.
Arredondando para duas casas decimais:
Z\approx1,03.
Comentário didático: Z deve ser um número inteiro na tabela periódica; o valor calculado pode não ser exatamente inteiro devido a aproximações experimentais e das constantes usadas. Vamos tratar isso na interpretação final.

Passo 4

Calcular a energia de ionização no estado fundamental.
Para um átomo hidrogenoide, o nível fundamental ( n=1) tem energia
E_{1}=-13,6\,Z^{2}\\ \mathrm{eV}.
A energia de ionização (energia necessária para levar o elétron de n=1 a n=\infty) é o módulo dessa energia:
E_{\text{ion}}=-E_{1}=13,6\,Z^{2}\\ \mathrm{eV}.
Usando o valor encontrado para Z^{2}\approx1,054847:
E_{\text{ion}}=13,6\times1,054847\approx14,3436\\ \mathrm{eV}.
Observação prática: há uma maneira mais direta usando E_{\text{ion}}=(9/8)E_{\text{fóton}}ó, porque de n=3 para n=1 a energia do fóton é (8/9) da energia de ligação do estado fundamental. Usando essa relação:
E_{\text{ion}}=\frac{9}{8}\,E_{\text{fóton}}=\frac{9}{8}\times12,7499\approx14,3436\\ \mathrm{eV}.ó
Arredondando adequadamente:
E_{\text{ion}}\approx14,34\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Interpretação do valor de Z e resposta sobre se o cátion pode pertencer a um elemento natural.
  • Obtivemos Z\approx1,03, valor muito próximo de 1.
  • Números atômicos são inteiros; o inteiro mais próximo é Z=1, que corresponde ao hidrogênio (elemento natural).
  • Conclusão prática: o resultado é compatível com uma espécie hidrogenoide com Z=1 (ou seja, uma espécie com núcleo de carga +1). No contexto de “cátion monoeletrônico” (espécie com apenas um elétron), isso corresponderia ao átomo neutro de hidrogênio (que tem um elétron) — note a diferença de terminologia: um “cátion monoeletrônico” normalmente se refere a íons com só um elétron, por exemplo \mathrm{He}^{+} ( Z=2), \mathrm{Li}^{2+} ( Z=3), etc.; aqui o cálculo indica que o núcleo tem carga próxima de +1.
  • A pequena diferença Z\approx1,03 em relação ao inteiro exato pode ser explicada por: aproximações numéricas (usei c=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}), incerteza experimental no comprimento de onda, e arredondamentos. Portanto, afirmar que pertence a um elemento natural é razoável: trata-se de hidrogênio (ou um íon com núcleo de carga +1), dentro da precisão dos dados.

Resposta

a) 12,75\\ \mathrm{eV}
b) Z\approx1,03 (inteiro mais próximo: Z=1)
c) 14,34\\ \mathrm{eV}
d) Sim — Z\approx1 corresponde ao hidrogênio (número atômico 1); a diferença pequena em relação a 1 deve-se a aproximações/erros experimentais.

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