Durante uma atividade de integração promovida na UEMG, cinco equipes participaram de uma gincana de Matemática composta por cinco rodadas, cada uma com dois problemas. Os resultados de cada equipe, em termos de acertos e erros, estão apresentados na tabela. Considerando que cada acerto atribui 3 pontos e cada erro acarreta perda de 3 pontos, escreva a matriz que representa a pontuação final das equipes.
Equipe Acerto Erro
Pitágoras 8 2
Euclides 5 5
Bháskara 9 1
Einstein 7 3
Newton 4 6
Pontos
Acerto 3
Erro -3

Passo 1

O enunciado pede para obter a matriz que representa a pontuação final das cinco equipes, usando as informações da tabela. Dados fornecidos (peguei todos os números do enunciado):
  • Equipes e seus resultados (acerto, erro):
    • Pitágoras: (8,\;2)
    • Euclides: (5,\;5)
    • Bháskara: (9,\;1)
    • Einstein: (7,\;3)
    • Newton: (4,\;6)
  • Valores de pontos por resultado (também dados no enunciado):
    • Acerto: 3 pontos
    • Erro: -3 pontos
O que se pede: escrever a matriz que representa a pontuação final de cada equipe (na ordem dada).

Passo 2

Ideia simples e conveniente: representar os números de acertos e erros como uma matriz de 5\times2 e os pontos por acerto/erro como um vetor coluna 2\times1. O produto dessa matriz pelo vetor dá um vetor coluna 5\times1 com as pontuações finais. Isso é só multiplicação de matrizes (linha por coluna), que é uma forma organizada e muito útil na prova.

Passo 3

Definir as matrizes. Seja C a matriz 5\times2 cujas linhas são [\,\text{acertos},\\ \text{erros}\,] de cada equipe, na mesma ordem do enunciado. Seja p o vetor coluna com os pontos atribuídos a acerto e erro:
C = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\\\ 5 & 5 \\\\ 9 & 1 \\\\ 7 & 3 \\\\ 4 & 6 \end{pmatrix}, \qquad p = \begin{pmatrix} 3 \\\\ -3 \end{pmatrix}.
Explicação dos símbolos:
  • Cada entrada de C é um número de ocorrências (acertos ou erros) para uma equipe.
  • Cada entrada de p é o número de pontos obtidos por uma ocorrência: o primeiro elemento é pontos por acerto ( 3), o segundo é pontos por erro ( -3).

Passo 4

Fórmula do produto: o vetor de pontuações finais s é dado por
s = C\,p,
onde cada componente s_i é o produto escalar da i-ésima linha de C pelo vetor p. Ou seja, para uma linha [a,\\ e] temos
\text{pontuação} = a\cdot 3 + e\cdot(-3) = 3(a-e).çã
Vou calcular componente a componente, mostrando as contas:
  • Pitágoras: linha [8,\;2]
3\cdot 8 + (-3)\cdot 2 = 24 - 6 = 18.
  • Euclides: linha [5,\;5]
3\cdot 5 + (-3)\cdot 5 = 15 - 15 = 0.
  • Bháskara: linha [9,\;1]
3\cdot 9 + (-3)\cdot 1 = 27 - 3 = 24.
  • Einstein: linha [7,\;3]
3\cdot 7 + (-3)\cdot 3 = 21 - 9 = 12.
  • Newton: linha [4,\;6]
3\cdot 4 + (-3)\cdot 6 = 12 - 18 = -6.

Passo 5

Organizando os resultados em forma de matriz (vetor coluna), mantendo a ordem das equipes conforme o enunciado (Pitágoras, Euclides, Bháskara, Einstein, Newton):
s = \begin{pmatrix} 18 \\\\ 0 \\\\ 24 \\\\ 12 \\\\ -6 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 18 \\\\ 0 \\\\ 24 \\\\ 12 \\\\ -6 \end{pmatrix}

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