Escreva cada matriz \left[a_{i j}\right]_{m \times n} de acordo com a lei de formação dos elementos a_{i j} em cada caso. D=\left[d_{i j}\right]_{3 \times 2},
d_{i j}= \begin{cases}2 i+j, & \text { se } i=j \\\\ 0, & \text { se } i \neq j\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede para escrever a matriz D=\left[d_{i j}\right]_{3 \times 2}\) sabendo que os elementos são dados por
\[d_{i j}= \begin{cases}2 i+j, & \text { se } i=j \\\\ 0, & \text { se } i \neq j\end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
A matriz tem 3\] linhas e \(2 colunas, ou seja, i\in\{1,2,3\} e j\in\{1,2\}.
A regra diz que se i=j então d_{i j}=2i+j; se i\neq j então d_{i j}=0.
Precisa-se listar todos os elementos d_{i j} e montar a matriz 3\times 2.
Passo 2
Vamos entender os índices possíveis. Como a matriz é 3\times 2:
As combinações (i,j) válidas são
(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2).
Nem todas têm i=j: só as pares em que i e j coincidem e estejam dentro dos domínios dados. Aqui, as únicas combinações com i=j e válidas são
(1,1)\quad\text{e}\quad(2,2).
Observe que (3,3) não aparece porque j só vai até 2.
Passo 3
Interpretação da lei de formação:
Para as posições diagonais possíveis (1,1) e (2,2) usamos d_{i j}=2i+j.
Para todas as outras posições (ou seja, as que não são diagonais nesta matriz) temos d_{i j}=0.
Passo 4
Calcular d_{11} (posição primeira linha, primeira coluna). Como i=j=1, aplica-se d_{11}=2i+j:
d_{11}=2\cdot 1 + 1 = 2+1 = 3.
Passo 5
Calcular d_{22} (segunda linha, segunda coluna). Como i=j=2, aplica-se d_{22}=2i+j:
d_{22}=2\cdot 2 + 2 = 4+2 = 6.
Passo 6
Calcular os elementos fora da diagonal (todos serão zero, pela definição). Para cada par: