Escreva cada matriz \left[a_{i j}\right]_{m \times n} de acordo com a lei de formação dos elementos a_{i j} em cada caso.
D=\left[d_{i j}\right]_{3 \times 2},
d_{i j}= \begin{cases}2 i+j, & \text { se } i=j \\\\ 0, & \text { se } i \neq j\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz D=\left[d_{i j}\right]_{3 \times 2}\) sabendo que os elementos são dados por \[d_{i j}= \begin{cases}2 i+j, & \text { se } i=j \\\\ 0, & \text { se } i \neq j\end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz tem 3\] linhas e \(2 colunas, ou seja, i\in\{1,2,3\} e j\in\{1,2\}.
  • A regra diz que se i=j então d_{i j}=2i+j; se i\neq j então d_{i j}=0.
  • Precisa-se listar todos os elementos d_{i j} e montar a matriz 3\times 2.

Passo 2

Vamos entender os índices possíveis. Como a matriz é 3\times 2:
  • As combinações (i,j) válidas são
(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2).
Nem todas têm i=j: só as pares em que i e j coincidem e estejam dentro dos domínios dados. Aqui, as únicas combinações com i=j e válidas são
(1,1)\quad\text{e}\quad(2,2).
Observe que (3,3) não aparece porque j só vai até 2.

Passo 3

Interpretação da lei de formação:
  • Para as posições diagonais possíveis (1,1) e (2,2) usamos d_{i j}=2i+j.
  • Para todas as outras posições (ou seja, as que não são diagonais nesta matriz) temos d_{i j}=0.

Passo 4

Calcular d_{11} (posição primeira linha, primeira coluna). Como i=j=1, aplica-se d_{11}=2i+j:
d_{11}=2\cdot 1 + 1 = 2+1 = 3.

Passo 5

Calcular d_{22} (segunda linha, segunda coluna). Como i=j=2, aplica-se d_{22}=2i+j:
d_{22}=2\cdot 2 + 2 = 4+2 = 6.

Passo 6

Calcular os elementos fora da diagonal (todos serão zero, pela definição). Para cada par:
d_{12}:\\ i=1,\\ j=2,\\ i\neq j \Rightarrow d_{12}=0,
d_{21}:\\ i=2,\\ j=1,\\ i\neq j \Rightarrow d_{21}=0,
d_{31}:\\ i=3,\\ j=1,\\ i\neq j \Rightarrow d_{31}=0,
d_{32}:\\ i=3,\\ j=2,\\ i\neq j \Rightarrow d_{32}=0.

Passo 7

Agora organizamos os elementos na forma da matriz 3\times 2. Colocando as entradas calculadas linha a linha:
D=\begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} \\\ d_{21} & d_{22} \\\ d_{31} & d_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 6 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

D=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 6 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}]

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