Durante uma aula prática no Laboratório de Física, um dos estudantes, de posse de um disparador de projeteis, lança um objeto com velocidade de
e com um ângulo de
em relação ao eixo horizontal. Determine:
a) A posição e a velocidade da bola no tempo
segundos
b) O tempo que o projetil leva para atingir a altura máxima
c) O tempo total do movimento
d) O valor da altura máxima
e) O alcance final do projetil e a respectiva velocidade final
a) A posição e a velocidade da bola no tempo
b) O tempo que o projetil leva para atingir a altura máxima
c) O tempo total do movimento
d) O valor da altura máxima
e) O alcance final do projetil e a respectiva velocidade final
Passo 1
Dados fornecidos e perguntas do enunciado:
- Velocidade inicial:
. - Ângulo de lançamento em relação à horizontal:
. - Aceleração da gravidade (tomada padrão):
(apontando para baixo). - Perguntas:
a) Determinar a posição e a velocidade da bola no tempo.
b) Encontrar o tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima.
c) Determinar o tempo total do movimento (até voltar ao solo, supondo que aterrissa à mesma altura de lançamento).
d) Calcular a altura máxima atingida.
e) Calcular o alcance final (distância horizontal) e a velocidade final ao atingir o solo (módulo e direção).
Passo 2
Decomposição da velocidade inicial — por que e como fazer:
- Em movimento de projéteis sem resistência do ar, as componentes horizontal e vertical da velocidade se comportam de maneira simples: a horizontal não tem aceleração (ficando constante) e a vertical tem aceleração
. - Para decompor usamos trigonometria: a componente horizontal é
e a vertical é . - Calculando (usando
e ):
- Aqui
e são as componentes iniciais da velocidade (horizontal e vertical, respectivamente).
Passo 3
Equações do movimento usadas (explicando significado de cada termo):
- Posição horizontal (movimento uniforme):
onde
é a posição horizontal em função do tempo e
é constante porque não há aceleração horizontal.
- Posição vertical (movimento uniformemente acelerado):
onde
é a posição vertical (altura) em função do tempo; o termo
representa o efeito da aceleração da gravidade para baixo.
- Velocidade em componentes:
- Módulo da velocidade no tempo
:
e a direção (ângulo em relação à horizontal) é
.
Passo 4
Resolvendo (a): posição e velocidade no tempo
.
- Posição horizontal:
- Posição vertical:
Calculando:
- Componentes da velocidade em
:
(O sinal negativo em
indica que, aos 2 s, a bola está se deslocando para baixo.)
- Módulo da velocidade em
:
- Direção da velocidade em
:
ou seja,
abaixo da horizontal.
Passo 5
Resolvendo (b): tempo para atingir a altura máxima.
- A altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade se anula:
. - Usando
, temos
- Substituindo:
Passo 6
Resolvendo (c): tempo total do movimento (tempo de voo até retornar à altura de lançamento).
- Para lançamento e aterrissagem na mesma altura, o tempo total é duas vezes o tempo até o ápice:
- Calculando:
Passo 7
Resolvendo (d): altura máxima atingida.
- Fórmula direta (energia cinética vertical ou movimento uniformemente retardado):
- Calculando:
Passo 8
Resolvendo (e): alcance final e velocidade final.
- Alcance (distância horizontal total) usando
:
(Alternativamente, a fórmula clássica
dá resultado consistente.)
- Velocidade final ao atingir o solo:
- Componente horizontal permanece
. - Componente vertical ao final: por simetria (pois retorna à mesma altura),
(sentido para baixo). - Módulo da velocidade final:
- Componente horizontal permanece
o que coincide com a velocidade inicial em módulo (energia cinética conservada sem resistência do ar).
- Direção final:
ou seja,
abaixo da horizontal (ângulo simétrico ao de lançamento).
Resposta
a)
(direção
abaixo da horizontal).
b)
c)
d)
e)
com direção
(isto é,
abaixo da horizontal).
b)
c)
d)
e)