Durante uma aula prática no Laboratório de Física, um dos estudantes, de posse de um disparador de projeteis, lança um objeto com velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e com um ângulo de 35^{\circ} em relação ao eixo horizontal. Determine:
a) A posição e a velocidade da bola no tempo t=2 segundos
b) O tempo que o projetil leva para atingir a altura máxima
c) O tempo total do movimento
d) O valor da altura máxima
e) O alcance final do projetil e a respectiva velocidade final

Passo 1

Dados fornecidos e perguntas do enunciado:
  • Velocidade inicial: \;v_0 = 20\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento em relação à horizontal: \;\theta = 35^\circ.
  • Aceleração da gravidade (tomada padrão): \;g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (apontando para baixo).
  • Perguntas:
    a) Determinar a posição e a velocidade da bola no tempo \;t=2\\ \mathrm{s}.
    b) Encontrar o tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima.
    c) Determinar o tempo total do movimento (até voltar ao solo, supondo que aterrissa à mesma altura de lançamento).
    d) Calcular a altura máxima atingida.
    e) Calcular o alcance final (distância horizontal) e a velocidade final ao atingir o solo (módulo e direção).

Passo 2

Decomposição da velocidade inicial — por que e como fazer:
  • Em movimento de projéteis sem resistência do ar, as componentes horizontal e vertical da velocidade se comportam de maneira simples: a horizontal não tem aceleração (ficando constante) e a vertical tem aceleração -g.
  • Para decompor usamos trigonometria: a componente horizontal é \;v_{0x}=v_0\cos\theta e a vertical é \;v_{0y}=v_0\sin\theta.
  • Calculando (usando \cos 35^\circ \approx 0{,}819152 e \sin 35^\circ \approx 0{,}573576):
v_{0x}=20\cos35^\circ\approx 20\cdot 0{,}819152 = 16{,}38\\ \mathrm{m/s}
v_{0y}=20\sin35^\circ\approx 20\cdot 0{,}573576 = 11{,}47\\ \mathrm{m/s}
  • Aqui \;v_{0x} e \;v_{0y} são as componentes iniciais da velocidade (horizontal e vertical, respectivamente).

Passo 3

Equações do movimento usadas (explicando significado de cada termo):
  • Posição horizontal (movimento uniforme):
x(t)=v_{0x}\,t
onde \;x(t) é a posição horizontal em função do tempo e \;v_{0x} é constante porque não há aceleração horizontal.
  • Posição vertical (movimento uniformemente acelerado):
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g t^2
onde \;y(t) é a posição vertical (altura) em função do tempo; o termo -\tfrac{1}{2}g t^2 representa o efeito da aceleração da gravidade para baixo.
  • Velocidade em componentes:
v_x(t)=v_{0x},\qquad v_y(t)=v_{0y}-g t.
  • Módulo da velocidade no tempo t:
v(t)=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2},
e a direção (ângulo em relação à horizontal) é \varphi=\arctan\!\big(\tfrac{v_y}{v_x}\big).

Passo 4

Resolvendo (a): posição e velocidade no tempo \;t=2\\ \mathrm{s}.
  • Posição horizontal:
x(2)=v_{0x}\cdot 2 = 16{,}38\cdot 2 = 32{,}76\\ \mathrm{m}.
  • Posição vertical:
y(2)=v_{0y}\cdot 2 - \tfrac{1}{2} g\cdot 2^2 = 11{,}47\cdot 2 - \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot 4.
Calculando:
y(2)=22{,}94 - 19{,}6 = 3{,}34\\ \mathrm{m}.
  • Componentes da velocidade em t=2\\ \mathrm{s}:
v_x(2)=v_{0x}=16{,}38\\ \mathrm{m/s},
v_y(2)=v_{0y}-g\cdot 2 = 11{,}47 - 9{,}8\cdot 2 = 11{,}47 - 19{,}6 = -8{,}13\\ \mathrm{m/s}.
(O sinal negativo em v_y(2) indica que, aos 2 s, a bola está se deslocando para baixo.)
  • Módulo da velocidade em t=2\\ \mathrm{s}:
v(2)=\sqrt{v_x(2)^2+v_y(2)^2} =\sqrt{(16{,}38)^2+(-8{,}13)^2}\approx 18{,}29\\ \mathrm{m/s}.
  • Direção da velocidade em t=2\\ \mathrm{s}:
\varphi(2)=\arctan\!\left(\frac{v_y(2)}{v_x(2)}\right)=\arctan\!\left(\frac{-8{,}13}{16{,}38}\right)\approx -26{,}5^\circ,
ou seja, 26{,}5^\circ abaixo da horizontal.

Passo 5

Resolvendo (b): tempo para atingir a altura máxima.
  • A altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade se anula: v_y(t_\text{top})=0.
  • Usando v_y(t)=v_{0y}-g t, temos
0=v_{0y}-g t_\text{top}\quad\Rightarrow\quad t_\text{top}=\frac{v_{0y}}{g}.
  • Substituindo:
t_\text{top}=\frac{11{,}47}{9{,}8}\approx 1{,}17\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Resolvendo (c): tempo total do movimento (tempo de voo até retornar à altura de lançamento).
  • Para lançamento e aterrissagem na mesma altura, o tempo total é duas vezes o tempo até o ápice:
T=\frac{2v_{0y}}{g}.
  • Calculando:
T=\frac{2\cdot 11{,}47}{9{,}8}\approx 2{,}34\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Resolvendo (d): altura máxima atingida.
  • Fórmula direta (energia cinética vertical ou movimento uniformemente retardado):
y_{\max}=\frac{v_{0y}^2}{2g}.
  • Calculando:
y_{\max}=\frac{(11{,}47)^2}{2\cdot 9{,}8}\approx \frac{131{,}60}{19{,}6}\approx 6{,}71\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Resolvendo (e): alcance final e velocidade final.
  • Alcance (distância horizontal total) usando R=v_{0x}\,T:
R=v_{0x}\,T=16{,}38\cdot 2{,}34\approx 38{,}35\\ \mathrm{m}.
(Alternativamente, a fórmula clássica R=\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g} dá resultado consistente.)
  • Velocidade final ao atingir o solo:
    • Componente horizontal permanece v_x = v_{0x}=16{,}38\\ \mathrm{m/s}.
    • Componente vertical ao final: por simetria (pois retorna à mesma altura), v_y(\text{impacto})=-v_{0y}=-11{,}47\\ \mathrm{m/s} (sentido para baixo).
    • Módulo da velocidade final:
v_{\text{final}}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(16{,}38)^2+( -11{,}47)^2} \approx 20{,}00\\ \mathrm{m/s},
o que coincide com a velocidade inicial em módulo (energia cinética conservada sem resistência do ar).
  • Direção final:
\phi_{\text{final}}=\arctan\!\left(\frac{v_y(\text{impacto})}{v_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{-11{,}47}{16{,}38}\right)\approx -35^\circ,
ou seja, 35^\circ abaixo da horizontal (ângulo simétrico ao de lançamento).

Resposta

a) x(2)=32{,}76\\ \mathrm{m},\; y(2)=3{,}34\\ \mathrm{m}.
\;v_x(2)=16{,}38\\ \mathrm{m/s},\; v_y(2)=-8{,}13\\ \mathrm{m/s},\; |v(2)|\approx 18{,}29\\ \mathrm{m/s} (direção \approx -26{,}5^\circ abaixo da horizontal).
b) t_{\text{top}}\approx 1{,}17\\ \mathrm{s}.
c) T_{\text{total}}\approx 2{,}34\\ \mathrm{s}.
d) y_{\max}\approx 6{,}71\\ \mathrm{m}.
e) R\approx 38{,}35\\ \mathrm{m}.
\;v_{\text{final}}=20{,}00\\ \mathrm{m/s} com direção \approx -35^\circ (isto é, 35^\circ abaixo da horizontal).

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