2- Quando, durante um dia ensolarado, uma vareta é fixada perpendicularmente ao chão, sua sombra é projetada no solo.
a) Descreva que ocorre com o comprimento dessa sombra no decorrer do dia.
b) Explique porque razão isso ocorre.

Passo 1

O enunciado descreve uma vareta vertical de altura h cravada no solo que projeta uma sombra de comprimento s. O conteúdo é geometria elementar e trigonometria: vamos relacionar o comprimento da sombra com o ângulo de elevação do Sol e usar como esse ângulo varia ao longo do dia.

Passo 2

Quando a luz solar incide fazendo um ângulo de elevação \alpha acima do horizonte, formam-se dois catetos num triângulo retângulo cuja base é a sombra s e a altura é a vareta h. Da definição de cotangente,
\cot(\alpha) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{cateto oposto}}
temos
\cot(\alpha)=\frac{s}{h} \quad\Longrightarrow\quad s = h\,\cot(\alpha).

Passo 3

Ao longo do dia, o Sol nasce no horizonte \alpha\approx0^\circ, sobe até o ponto mais alto ao meio-dia solar \alpha=\alpha_{\max} e depois desce até o pôr do Sol \alpha\to0^\circ. Assim:
  • Logo após o nascer do Sol, \alpha é muito pequeno e \cot(\alpha) é grande, logo s é muito longo.
  • Conforme \alpha aumenta, \cot(\alpha) diminui, fazendo s diminuir.
  • No meio-dia, \alpha atinge o máximo e \cot(\alpha) o mínimo, de modo que s atinge seu valor mínimo.
  • Depois do meio-dia, \alpha decresce e \cot(\alpha) cresce, fazendo s aumentar até o pôr do Sol.

Passo 4

A razão física é que a altura aparente do Sol no céu muda devido à rotação da Terra. Como o comprimento da sombra é dado por s = h\,\cot(\alpha), basta que o ângulo de elevação \alpha varie para que a sombra fique mais curta (quando o Sol está alto) ou mais longa (quando o Sol está baixo).

Resposta

(a) Durante a manhã a sombra vai encurtando, atinge um mínimo ao meio-dia solar e depois, na tarde, vai alongando novamente até o pôr do Sol.
(b) Isso ocorre porque o comprimento da sombra é s = h\,\cot(\alpha), onde \alpha é o ângulo de elevação do Sol. À medida que a Terra gira, \alpha aumenta até o meio-dia (diminuindo s) e depois diminui até o entardecer (aumentando s).

Exercícios relacionados