Derive a expressão da aceleração absoluta de B em relação ao sistema inercial e identifique os termos associados a:
  • aceleração relativa,
  • aceleração de Coriolis,
  • aceleração centrípeta,
  • aceleração de Euler.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos como se decompõe a aceleração absoluta de um ponto B visto de um sistema inercial quando usamos um sistema que gira com velocidade angular \boldsymbol\omega. O conteúdo é cinemática de corpos rígidos em referência não inercial. Vamos precisar das regras de derivação de vetores em um sistema girante, a saber:
\Bigl(\frac{d\mathbf{A}}{dt}\Bigr)_{\text{inercial}} = \Bigl(\frac{d\mathbf{A}}{dt}\Bigr)_{\text{relativo}} + \boldsymbol\omega\times\mathbf{A}.

Passo 2

Definimos:
\mathbf{r} = vetor posição de B medido no sistema girante;
\mathbf{V}_B^{\text{abs}} = velocidade absoluta de B no inercial;
\mathbf{V}_O^{\text{abs}} = velocidade absoluta da origem O do sistema girante;
\mathbf{v}_{\text{rel}} = \bigl(d\mathbf{r}/dt\bigr)_{\text{relativo}}.
Então a velocidade absoluta satisfaz
\mathbf{V}_B^{\text{abs}} = \mathbf{V}_O^{\text{abs}} + \mathbf{v}_{\text{rel}} + \boldsymbol\omega\times\mathbf{r}.

Passo 3

Para obter a aceleração absoluta de B, derivamos essa expressão no referencial inercial. Usamos a regra
\Bigl(\frac{d}{dt}\Bigr)_{\text{inercial}} = \Bigl(\frac{d}{dt}\Bigr)_{\text{relativo}} + \boldsymbol\omega\times(\,\cdot\,)
aplicada a cada termo:
\mathbf{a}_B^{\text{abs}} = \frac{d\mathbf{V}_O^{\text{abs}}}{dt} + \Bigl(\frac{d\mathbf{v}_{\text{rel}}}{dt}\Bigr)_{\text{rel}} + \boldsymbol\omega\times\mathbf{v}_{\text{rel}} + \Bigl(\frac{d}{dt}\Bigr)_{\text{inercial}}(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}).

Passo 4

Calculamos o último termo usando a regra do produto vetorial e a mesma regra de derivação:
\Bigl(\frac{d}{dt}\Bigr)_{\text{inercial}}(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}) = \frac{d\boldsymbol\omega}{dt}\times\mathbf{r} + \boldsymbol\omega\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}\Big|_{\text{inercial}}.
Mas
\frac{d\mathbf{r}}{dt}\Big|_{\text{inercial}} = \mathbf{v}_{\text{rel}} + \boldsymbol\omega\times\mathbf{r},
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\begin{aligned} \Bigl(\frac{d}{dt}\Bigr)_{\text{inercial}}(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}) &= \dot{\boldsymbol\omega}\times\mathbf{r} + \boldsymbol\omega\times\mathbf{v}_{\text{rel}} + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}). \end{aligned}

Passo 5

Reunindo tudo, definindo \mathbf{a}_O^{\text{abs}} = d\mathbf{V}_O^{\text{abs}}/dt e \mathbf{a}_{\text{rel}} = \bigl(d\mathbf{v}_{\text{rel}}/dt\bigr)_{\text{rel}}, obtemos:
\boxed{ \mathbf{a}_B^{\text{abs}} = \mathbf{a}_O^{\text{abs}} + \underbrace{\mathbf{a}_{\text{rel}}}_{\text{relativa}} + \underbrace{2\,\boldsymbol\omega\times\mathbf{v}_{\text{rel}}}_{\text{Coriolis}} + \underbrace{\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r})}_{\text{centrípeta}} + \underbrace{\dot{\boldsymbol\omega}\times\mathbf{r}}_{\text{Euler}}. }í

Resposta

\mathbf{a}_B^{\text{abs}} = \mathbf{a}_O^{\text{abs}} + \mathbf{a}_{\text{rel}} + 2\,\boldsymbol\omega\times\mathbf{v}_{\text{rel}} + \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}) + \dot{\boldsymbol\omega}\times\mathbf{r}.
Termos:
\mathbf{a}_{\text{rel}}: aceleração relativa;
2\,\boldsymbol\omega\times\mathbf{v}_{\text{rel}}: aceleração de Coriolis;
\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}): aceleração centrípeta;
\dot{\boldsymbol\omega}\times\mathbf{r}: aceleração de Euler.

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