Um motor de indução trifásico de 20 \mathrm{HP}, 450 \mathrm{~V}, 4 polos, 60 \mathrm{~Hz}, 1730 \mathrm{rpm}, opera acionando a sua potência nominal. As perdas mecânicas são de 860 W. Determine a potência transferida para o entreferro.
P_{\text {gap }}=16.418,5 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Potência nominal do motor (potência útil no eixo): 20\\ \mathrm{HP}.
  • Tensão nominal: 450\\ \mathrm{V} (não será usada no cálculo pedido, mas foi informada).
  • Número de polos: 4.
  • Frequência: 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade mecânica do rotor (em operação nominal): 1730\\ \mathrm{rpm}.
  • Perdas mecânicas (atrito, ventilação, etc.): 860\\ \mathrm{W}.
  • O motor opera fornecendo a sua potência nominal (ou seja, a potência no eixo é de 20\\ \mathrm{HP}).
O que se pede: determinar a potência transferida pelo entreferro, isto é, a potência colocada no rotor através do entreferro (denotada por P_{\text{gap}}).

Passo 2

Primeiro convertemos a potência nominal de cavalos-vapor para watts, porque todos os outros dados estão em unidades SI.
A relação é 1\\ \mathrm{HP}=746\\ \mathrm{W}. Então
P_{\text{eixo}} = 20\\ \mathrm{HP} = 20 \times 746\\ \mathrm{W}.
Calculemos isso passo a passo:
P_{\text{eixo}} = 20 \times 746 = 14\,920\\ \mathrm{W}.
Aqui P_{\text{eixo}} é a potência entregue no eixo (após as perdas mecânicas).

Passo 3

Agora precisamos relacionar as potências internas da máquina. É importante entender o diagrama de potências de um motor de indução:
  • P_{\text{gap}} é a potência que atravessa o entreferro e entra no rotor (air-gap power).
  • Uma parte dessa potência é dissipada como perdas ôhmicas no enrolamento do rotor (perdas no rotor), P_{\text{rotor,cu}}.
  • O restante vira potência mecânica desenvolvida no eixo antes das perdas mecânicas; chamaremos esta potência de P_{\text{dev}}.
  • As perdas mecânicas P_{\text{mech}} (dadas) são subtraídas de P_{\text{dev}} para obter P_{\text{eixo}}.
As relações são:
P_{\text{gap}} = P_{\text{rotor,cu}} + P_{\text{dev}},
P_{\text{eixo}} = P_{\text{dev}} - P_{\text{mech}}.
Reescrevendo para obter P_{\text{dev}}:
P_{\text{dev}} = P_{\text{eixo}} + P_{\text{mech}}.
Além disso, no motor de indução idealizado há uma relação simples entre a perda ôhmica do rotor e P_{\text{gap}}: a perda ôhmica do rotor é s vezes P_{\text{gap}}, onde s é o escorregamento. Ou seja,
P_{\text{rotor,cu}} = s\,P_{\text{gap}}.
Isso vem do modelo onde parte s da potência que atravessa o entreferro é dissipada no rotor e a parte 1-s é convertida em potência mecânica desenvolvida:
P_{\text{dev}} = (1-s)\,P_{\text{gap}}.
Daqui podemos isolar P_{\text{gap}}:
P_{\text{gap}} = \frac{P_{\text{dev}}}{1-s}.

Passo 4

Precisamos do escorregamento s. O escorregamento é definido por
s = \frac{n_s - n}{n_s},
onde n_s é a velocidade síncrona e n é a velocidade do rotor (ambas em rpm).
A velocidade síncrona para um motor polifásico é
n_s = \frac{120\,f}{p},
onde f é a frequência em hertz e p é o número de polos.
Substituindo f=60\\ \mathrm{Hz} e p=4:
n_s = \frac{120\times 60}{4} = 1\,800\\ \mathrm{rpm}.
Dados n=1\,730\\ \mathrm{rpm}, o escorregamento é
s = \frac{1\,800 - 1\,730}{1\,800} = \frac{70}{1\,800}.
Calculemos esse valor (com vírgula decimal, conforme convenção):
s = 0,038888\ldots \approx 0,03889.

Passo 5

Agora calculemos P_{\text{dev}} usando a relação do Passo 3:
P_{\text{dev}} = P_{\text{eixo}} + P_{\text{mech}}.
Substituindo P_{\text{eixo}}=14\,920\\ \mathrm{W} (Passo 2) e P_{\text{mech}}=860\\ \mathrm{W}:
P_{\text{dev}} = 14\,920 + 860 = 15\,780\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Finalmente, usando a fórmula que relaciona P_{\text{gap}} e P_{\text{dev}}:
P_{\text{gap}} = \frac{P_{\text{dev}}}{1-s}.
Substituímos P_{\text{dev}}=15\,780\\ \mathrm{W} e s\approx 0,03889:
P_{\text{gap}} = \frac{15\,780}{1 - 0,03889} = \frac{15\,780}{0,96111\ldots}.
Agora a divisão:
P_{\text{gap}} \approx 16\,418{,}5\\ \mathrm{W}.
Interpretação rápida: essa potência de aproximadamente 16{,}4\\ \mathrm{kW} é a energia por segundo que atravessa o entreferro; parte dela (uma fração s) é dissipada nas perdas ôhmicas do rotor e o restante é transformado em potência mecânica antes das perdas mecânicas.

Resposta

P_{\text{gap}}=16.418{,}5\\ \mathrm{W}

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