Uma barragem de concreto foi construída sobre uma camada de solo arenoso permeável. A diferença de nível d’água entre montante (rio acima) e jusante (rio abaixo) da barragem induz um fluxo de água através do solo de fundação. Este fluxo pode gerar subpressão na base da barragem e, se a velocidade de saída da
água no lado de jusante for muito alta, pode causar o fenômeno de “piping” (erosão interna do solo), comprometendo a segurança da estrutura.
O engenheiro geotécnico precisa desenhar a barragem para depois desenhar a rede de fluxo utilizando as seguintes informações:
  • Largura da base da barragem (contato com o solo): B = 20 m
  • Profundidade da camada de solo permeável abaixo da base da barragem até uma camada impermeável (rocha ou argila compacta): \mathrm{H}=15 \mathrm{~m}
  • Nível d’água a montante (acima da superfície do solo de fundação): \mathbf{h}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{=} 10 m
  • Nível d’água a jusante (acima da superfície do solo de fundação): \mathbf{h}_{\mathbf{2}}=\mathbf{2} m
  • Considere a barragem muito longa (problema bidimensional).
  • Coeficiente de permeabilidade do solo arenoso (isotrópico): \mathbf{k}=\mathbf{2} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{5}} \mathrm{m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá uma barragem muito longa (problema bidimensional) apoiada sobre uma camada de solo arenoso permeável, com os seguintes dados:
\;B=20\\ \mathrm{m} (largura da base, contato solo–barragem),
\;H=15\\ \mathrm{m} (espessura da camada permeável até a camada impermeável),
\;h_{1}=10\\ \mathrm{m} (nível d’água a montante, medido acima da superfície do solo de fundação),
\;h_{2}=2\\ \mathrm{m} (nível d’água a jusante, medido acima da superfície do solo de fundação),
\;k=2\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s} (coeficiente de permeabilidade, isotrópico).
O que vamos calcular (as quantidades que um engenheiro geotécnico precisa para desenhar a rede de fluxo e avaliar piping):
  1. a vazão de água através do solo por metro de comprimento da barragem (descarga por unidade de comprimento), que chamarei de \;q (unidade \mathrm{m^2/s} por metro em planta);
  2. o gradiente hidráulico de saída na base do lado jusante (gradiente de saída) \;i_{\mathrm{e}} (valor adimensional importante para avaliar risco de piping);
  3. a velocidade de Darcy na saída (velocidade específica) \;v_{\mathrm{e}} (em \mathrm{m/s}).
Observação: para estimativa analítica simples usarei a aproximação de Dupuit (que é aceita em projeto inicial de escoamento sob barragens) e assumirei que o comprimento do percurso do escoamento sob a barragem é aproximadamente igual à largura da base \;B. Não vou pedir dados adicionais — vou explicar cada hipótese e as fórmulas usadas.

Passo 2

Conceitos básicos e 1ª fórmula (Darcy e aproximação de Dupuit).
  • Darcy nos diz que a vazão volumétrica por área transversal \;v (velocidade de Darcy, também chamada de descarga específica) é proporcional ao gradiente hidráulico:
v = -k\,\frac{dh}{dx},
onde \;k é o coeficiente de permeabilidade, \;h é a carga hidráulica (altura de água medida a partir de uma referência) e \;x é a coordenada ao longo do percurso do fluxo. O sinal menos só indica que a água flui no sentido de redução de h.
  • Na aproximação de Dupuit, para escoamento não confinado com base impermeável, desprezamos a componente vertical da velocidade e assumimos que a velocidade média horizontal em uma seção é \;v = q/h, onde \;q é a vazão por unidade de comprimento (unidade \mathrm{m^2/s}) e \;h é a espessura saturada local (a carga hidráulica local). Assim, combinando com Darcy:
\frac{q}{h} = k\left(-\frac{dh}{dx}\right).
Trocando de sinal e isolando:
q = k\,h\,\frac{dh}{dx}.
Essa é a forma diferencial que relaciona a vazão por unidade de comprimento \;q, o campo de alturas \;h(x) e \;k.

Passo 3

Integração para obter expressão fechada de \;q.
Separando variáveis e integrando ao longo do percurso do escoamento desde o montante até o jusante: supondo que o comprimento do percurso é \;L (aqui aproximado por \;B), integramos \;x de 0 a \;L enquanto \;h varia de \;h_{1} a \;h_{2}:
q\int_{0}^{L} dx = k\int_{h_{1}}^{h_{2}} h\,dh.
A integral do lado esquerdo é qL. A do lado direito é \displaystyle k\left[\tfrac{1}{2}h^{2}\right]_{h_{1}}^{h_{2}} = \tfrac{k}{2}\left(h_{2}^{2}-h_{1}^{2}\right). Reorganizando os sinais (sabendo que h_{1}>h_{2}), obtemos a expressão usual (colocando positivo):
q\,L = \frac{k}{2}\left(h_{1}^{2}-h_{2}^{2}\right).
Assim, a vazão por unidade de comprimento é
\boxed{\,q = \frac{k}{2L}\left(h_{1}^{2}-h_{2}^{2}\right)\,}
onde:
  • \;q é a descarga por unidade de comprimento ( \mathrm{m^2/s} por cada metro em planta),
  • \;k é o coeficiente de permeabilidade ( \mathrm{m/s}),
  • \;h_{1} e \;h_{2} são as alturas das lâminas d’água ( \mathrm{m}),
  • \;L é o comprimento do percurso do fluxo (aqui usaremos \;L=B como aproximação inicial).
Explicação rápida do porquê do termo quadrático: em escoamento não confinado a condutância é proporcional à altura saturada h, então integrar dá termos em h^2.

Passo 4

Escolha do comprimento do percurso e cálculo numérico da vazão por unidade de comprimento.
  • Hipótese de projeto inicial: tomo \;L=B=20\\ \mathrm{m} (isto é, considero que o percurso do escoamento sob a barragem tem comprimento aproximadamente igual à largura da base; em projetos mais refinados usa-se rede de escoamento/fluxo ou fórmula com extensões laterais, mas essa é uma boa estimativa inicial).
  • Substituindo \;k=2\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}, \;h_{1}=10\\ \mathrm{m} e \;h_{2}=2\\ \mathrm{m} em \;q=\dfrac{k}{2L}\left(h_{1}^{2}-h_{2}^{2}\right):
Calcule h_{1}^{2}-h_{2}^{2}:
h_{1}^{2}-h_{2}^{2} = 10^{2}-2^{2} = 100 - 4 = 96\\ \mathrm{m^{2}}.
Calcule o fator \dfrac{k}{2L}:
\frac{k}{2L} = \frac{2\times10^{-5}}{2\cdot20} = \frac{2\times10^{-5}}{40} = 5\times10^{-7}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Agora multiplica:
q = 5\times10^{-7}\times96 = 4{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}\\ \text{(por metro de comprimento)}.

Passo 5

Cálculo do gradiente hidráulico de saída \;i_{\mathrm{e}}.
  • Usamos a expressão local do gradiente: a partir de \;q = k h \, \dfrac{dh}{dx} isolamos o gradiente \dfrac{dh}{dx} = \dfrac{q}{k h}. No ponto de saída (no pé jusante) a espessura saturada local é \;h_{2}, portanto o gradiente de saída (valor do gradiente hidráulico que a água “sente” ao sair) é:
\boxed{\,i_{\mathrm{e}} = \left.\frac{dh}{dx}\right|_{\text{saida}} = \frac{q}{k\,h_{2}}\,.}
  • Substituindo numericamente: \;q=4{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}, \;k=2\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}, \;h_{2}=2\\ \mathrm{m}:
i_{\mathrm{e}} = \frac{4{,}8\times10^{-5}}{2\times10^{-5}\cdot 2} = \frac{4{,}8\times10^{-5}}{4\times10^{-5}} = 1{,}2.

Passo 6

Cálculo da velocidade de Darcy na saída \;v_{\mathrm{e}}.
  • A velocidade média horizontal (velocidade de Darcy) numa seção de espessura saturada \;h é \;v = q/h. No ponto de saída usamos \;h=h_{2}:
\boxed{\,v_{\mathrm{e}} = \frac{q}{h_{2}}\,.}
  • Numérico:
v_{\mathrm{e}} = \frac{4{,}8\times10^{-5}}{2} = 2{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.
Verificação rápida: o gradiente adimensional \;i_{\mathrm{e}} = v_{\mathrm{e}}/k = (2{,}4\times10^{-5})/(2\times10^{-5}) = 1{,}2, consistente.

Passo 7

Interpretação prática (piping e recomendações).
  • Um critério grosseiro de risco de piping usa o gradiente crítico aproximado \;i_{\mathrm{crit}}\approx1{,}0 para areias soltas sem proteção (valor orientativo; o valor real depende de G_s, porosidade/void ratio e compactação).
  • Aqui obtemos \;i_{\mathrm{e}}=1{,}2, ou seja, acima de \;1{,}0; isso indica potencial risco de arrancamento de partículas (piping) na saída, portanto exige medidas de proteção: filtros e drenos a jusante, alargamento do pé, ou redução do fluxo (por ex. cortina de corte/parede de impermeabilização) até que o gradiente de saída fique abaixo do crítico.
  • Observação de projeto: a hipótese \;L=B é simplificadora; redes de fluxo mostram que o comprimento efetivo pode ser maior (reduzindo q e \;i_{\mathrm{e}}) ou menor dependendo do traçado do fluxo. Portanto sempre confirme com um fluxo net ou modelo numérico e verifique critérios de filtração/segurança.

Resposta

q = 4{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s} por metro de comprimento (vazão através do solo por metro).
i_{\mathrm{e}} = 1{,}2 (gradiente hidráulico de saída, adimensional).
v_{\mathrm{e}} = 2{,}4\times10^{-5}\\ \mathrm{m/s} (velocidade de Darcy na saída).

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