Durante um ensaio de tração de um aço, os seguintes dados foram obtidos: diâmetro inicial \mathrm{d}_{\mathrm{o}}=12,8 \mathrm{~mm} e comprimento útil \mathrm{I}_{\mathrm{o}}=50,8 \mathrm{~mm}. Após o rompimento, o diâmetro da seção de fratura foi de 8,13 \mathrm{~mm}.
Explique por que a tensão de engenharia diminui após o limite de resistência, enquanto a tensão verdadeira continua subindo.

Passo 1

O enunciado dá estes dados (peguei os números do enunciado):
  • diâmetro inicial \,d_{o}=12,8\\ \mathrm{mm}\,;
  • comprimento útil inicial \,L_{o}=50,8\\ \mathrm{mm}\,;
  • diâmetro final da seção de fratura \,d_{f}=8,13\\ \mathrm{mm}\,.
O que o enunciado pede:
  • explicar por que a tensão de engenharia diminui após o limite de resistência (pico da curva) enquanto a tensão verdadeira continua subindo.

Passo 2

Definições essenciais (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • tensão de engenharia: \displaystyle \sigma_{\text{eng}}=\frac{F}{A_{0}}, onde \,F é a força aplicada no ensaio e \,A_{0} é a área da seção transversal inicial ( A_{0}=\pi(d_{o}/2)^{2}).
  • tensão verdadeira: \displaystyle \sigma_{\text{true}}=\frac{F}{A_{\text{inst}}}, onde \,A_{\text{inst}} é a área instantânea da seção transversal no instante considerado (varia com a deformação).
    Comentário didático: a diferença chave é a área usada no denominador — a tensão de engenharia sempre divide pela área inicial fixa, a tensão verdadeira divide pela área que realmente suporta a carga naquele momento.

Passo 3

Definições de deformação e conservação de volume (explicando cada termo):
  • deformação de engenharia: \displaystyle \varepsilon_{\text{eng}}=\frac{L-L_{0}}{L_{0}}, onde L é o comprimento instantâneo.
  • deformação verdadeira (logarítmica): \displaystyle \varepsilon_{\text{true}}=\ln\!\bigl(1+\varepsilon_{\text{eng}}\bigr).
  • Hipótese útil: para deformação plástica em metais ducteis costuma-se considerar aproximadamente conservação de volume durante o ensaio plástico, isto é \,A_{\text{inst}}L = A_{0}L_{0}. Daí
A_{\text{inst}}=\frac{A_{0}L_{0}}{L}=\frac{A_{0}}{1+\varepsilon_{\text{eng}}}.
Comentário: isso significa que quando a barra alonga ( L cresce ), a área transversal diminui de forma inversa.

Passo 4

Relação entre tensão verdadeira e tensão de engenharia antes da estrangulação localizada:
Usando \,A_{\text{inst}}=A_{0}/(1+\varepsilon_{\text{eng}}) e \sigma_{\text{eng}}=F/A_{0}, temos
\sigma_{\text{true}}=\frac{F}{A_{\text{inst}}}=\frac{F}{A_{0}}\cdot\frac{A_{0}}{A_{\text{inst}}}=\sigma_{\text{eng}}\,(1+\varepsilon_{\text{eng}}).
Explicação passo a passo: a tensão verdadeira é a tensão de engenharia multiplicada por um fator (1+\varepsilon_{\text{eng}}) que cresce com o alongamento; portanto, enquanto a deformação for homogênea (sem estrangulamento localizado) e a área seguir a conservação de volume, \sigma_{\text{true}} cresce mais rapidamente que \sigma_{\text{eng}}.

Passo 5

Cálculo das áreas inicial e final (peguei d_{o} e d_{f} do enunciado):
  • área inicial
A_{0}=\pi\left(\frac{d_{o}}{2}\right)^{2} =\pi\left(\frac{12,8}{2}\right)^{2} =\pi\,(6,4)^{2} =\pi\cdot 40,96\approx 128,68\\ \mathrm{mm}^{2}.
  • área na fratura (seção de fratura)
A_{f}=\pi\left(\frac{d_{f}}{2}\right)^{2} =\pi\left(\frac{8,13}{2}\right)^{2} =\pi\,(4,065)^{2} =\pi\cdot 16,522\dots\approx 51,90\\ \mathrm{mm}^{2}.
  • razão entre áreas
\frac{A_{0}}{A_{f}}\approx\frac{128,68}{51,90}\approx 2,48.
Interpretação: na região de fratura a seção ficou cerca de 2{,}5 vezes menor que a inicial.

Passo 6

Critério de início de estrangulamento (Considère) — dedução e significado (vou mostrar o porquê do pico na curva de engenharia):
Considere a força aplicada escrita com tensão verdadeira:
F=\sigma_{\text{true}}\,A=\sigma_{\text{true}}\,A_{0}e^{-\varepsilon_{\text{true}}},
pois pela conservação de volume A=A_{0}e^{-\varepsilon_{\text{true}}} (já que \varepsilon_{\text{true}}=\ln(L/L_{0})). Para que a força aumente com a deformação precisa valer \,dF/d\varepsilon_{\text{true}}>0. Diferenciando:
\frac{dF}{d\varepsilon_{\text{true}}}=A_{0}e^{-\varepsilon_{\text{true}}}\!\left(\frac{d\sigma_{\text{true}}}{d\varepsilon_{\text{true}}}-\sigma_{\text{true}}\right).
No pico da curva de força (início do estrangulamento) tem-se \,dF/d\varepsilon_{\text{true}}=0, logo
\boxed{\frac{d\sigma_{\text{true}}}{d\varepsilon_{\text{true}}}=\sigma_{\text{true}}.}
Significado físico: o trabalho de encruamento (a habilidade do material de aumentar \sigma_{\text{true}} com deformação) deixa de ser suficiente para compensar a redução de área — a barra passa a neckar (deformação se localiza). Esse ponto corresponde ao pico da curva de tensão de engenharia (ou ao pico da curva força vs alongamento).

Passo 7

O que ocorre depois do pico (por que as curvas se comportam diferente):
  • Após o início do necking a deformação deixa de ser homogênea e concentra-se na região estrangulada. A força máxima já foi alcançada e, em geral, a força F aplicada começa a diminuir porque a seção reduzida não suporta mais o mesmo carregamento global.
  • Tensão de engenharia \sigma_{\text{eng}}=F/A_{0}: como A_{0} é fixo e a força F decresce depois do pico, \sigma_{\text{eng}} necessariamente diminui. É uma “métrica” que divide pela área inicial, então não acompanha a verdadeira área que está encolhendo.
  • Tensão verdadeira \sigma_{\text{true}}=F/A_{\text{inst}}: mesmo que F diminua, A_{\text{inst}} diminui muito mais (localmente a seção encolhe fortemente). Se a área instantânea cai mais rápido do que a força, o quociente F/A_{\text{inst}} aumenta. Assim a tensão verdadeira pode continuar crescendo durante o necking até o ponto de fratura local.
    Ilustração numérica rápida (apenas para intuição): suponha que, após o pico, F caia para 80\% do valor do pico mas a área instantânea da região necked caia para 40\% da área inicial. Então
\sigma_{\text{eng,new}}=0{,}8\,\sigma_{\text{eng,peak}} \quad\text{(diminui)},
enquanto
\sigma_{\text{true,new}}=\frac{0{,}8F_{\text{peak}}}{0{,}4A_{0}}=2{,}0\;\frac{F_{\text{peak}}}{A_{0}}=2{,}0\,\sigma_{\text{eng,peak}}\quad\text{(pode aumentar).}
Como no nosso caso a razão A_{0}/A_{f} é \approx 2{,}48, uma forte redução da área pode mais do que compensar a queda de força, gerando aumento da tensão verdadeira.

Passo 8

Resumo conceitual final (amigável, motivador e direto):
  • A tensão de engenharia usa sempre a área inicial fixa; quando começa o estrangulamento a força diminui, então \sigma_{\text{eng}} cai.
  • A tensão verdadeira usa a área real que está cada vez menor; se a área cai mais rápido que a força, \sigma_{\text{true}}=F/A_{\text{inst}} continua subindo.
  • O início do comportamento diferente é previsto pelo critério de Considère: quando o encruamento não compensa a redução de área, inicia-se o necking e aparece a queda da tensão de engenharia enquanto a tensão verdadeira ainda pode crescer.

Resposta

A tensão de engenharia diminui porque divide a força pela área inicial fixa \,A_{0} e, depois do pico, a força resultante F cai (logo \sigma_{\text{eng}}=F/A_{0} diminui). Já a tensão verdadeira divide a força pela área instantânea que está encolhendo rapidamente; se a área instantânea diminui mais depressa do que a força, o quociente F/A_{\text{inst}} aumenta, fazendo com que a tensão verdadeira continue subindo mesmo após o limite de resistência.

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