Um eixo cilíndrico de aço de 1,5 \mathrm{~m} de comprimento deve suportar um torque de 500 \mathrm{~N} . \mathrm{m}. Se o ângulo de torção não pode exceder 2^{\underline{\circ}} e a tensão de cisalhamento máxima é de 80 MPa , determine o diâmetro mínimo necessário para o eixo. (Considere \mathrm{G}=80 \mathrm{GPa} ).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
    • Torque aplicado: T = 500\\ \mathrm{N\cdot m}.
    • Comprimento do eixo: L = 1,5\\ \mathrm{m}.
    • Ângulo de torção máximo permitido: \theta_{\max} = 2^\circ.
    • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\max} = 80\\ \mathrm{MPa} = 80\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
    • Módulo de cisalhamento do aço: G = 80\\ \mathrm{GPa} = 80\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • O que o problema pede:
    • Determinar o diâmetro mínimo d do eixo cilíndrico sólido que satisfaça simultaneamente
      (i) a condição de não exceder a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} e
      (ii) a condição de não exceder o ângulo de torção máximo \theta_{\max}.

Passo 2

Fórmula da tensão de cisalhamento para eixo circular sólido submetido a torque.
  • Para um eixo circular sólido, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque aplicado,
  • c é o raio externo ( c=\dfrac{d}{2}),
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal.
  • Para seção circular sólida vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • Substituindo c=d/2 e J na fórmula de \tau_{\max} obtemos, com contas explícitas,
\tau_{\max}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
  • Isolando d na condição \tau \le \tau_{\max} (ou seja, exigindo que o diâmetro seja pelo menos o necessário para que a tensão não ultrapasse o limite), temos
d^{3}\ge \frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\max}} \quad\Rightarrow\quad d \ge \left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\max}}\right)^{1/3}.
  • Agora substituo os números (mostrando passos numéricos):
    • 16\,T = 16\cdot 500 = 8000.
    • \pi\,\tau_{\max} = \pi\cdot 80\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
d \ge \left(\frac{8000}{\pi\cdot 80\times10^{6}}\right)^{1/3}.
  • Calculando numericamente:
    • \pi\cdot 80\times10^{6}\approx 2{,}51327412\times10^{8}.
    • \dfrac{8000}{2{,}51327412\times10^{8}}\approx 3{,}1831\times10^{-5}.
    • Raiz cúbica: d_{\text{tensão}}\approx (3{,}1831\times10^{-5})^{1/3}\approx 0,0317\\ \mathrm{m}ã.
  • Converto para milímetros:
d_{\text{tensão}}\approx 0,0317\\ \mathrm{m}=31,7\\ \mathrm{mm}.ã

Passo 3

Fórmula do ângulo de torção para eixo circular sólido.
  • A expressão do ângulo de torção \theta (em radianos) para um eixo de comprimento L é
\theta=\frac{T\,L}{J\,G}.
  • Usando J=\dfrac{\pi d^{4}}{32} obtemos
\theta=\frac{32\,T\,L}{\pi\,G\,d^{4}}.
  • Aqui:
    • \theta deve ser menor ou igual a \theta_{\max}.
    • Então exigimos
d^{4}\ge \frac{32\,T\,L}{\pi\,G\,\theta_{\max}} \quad\Rightarrow\quad d \ge \left(\frac{32\,T\,L}{\pi\,G\,\theta_{\max}}\right)^{1/4}.
  • Primeiro converto o ângulo permitido para radianos (sempre usar radiano nas fórmulas):
\theta_{\max}=2^\circ=\frac{2\pi}{180}=\frac{\pi}{90}\\ \text{rad}\approx 0,0349066\\ \text{rad}.
  • Substituo os valores:
    • 32\,T\,L = 32\cdot 500\cdot 1{,}5 = 24\,000.
    • \pi\,G\,\theta_{\max} = \pi\cdot 80\times10^{9}\cdot \frac{\pi}{90} = \frac{\pi^{2}\cdot 80\times10^{9}}{90}.
d \ge \left(\frac{24\,000}{\pi\cdot 80\times10^{9}\cdot(\pi/90)}\right)^{1/4} = \left(\frac{24\,000}{\dfrac{\pi^{2}\cdot 80\times10^{9}}{90}}\right)^{1/4}.
  • Calculando numericamente (passos):
    • \pi^{2}\approx 9{,}8696.
    • \dfrac{\pi^{2}\cdot 80\times10^{9}}{90}\approx \dfrac{9{,}8696\cdot 80\times10^{9}}{90}\approx 8{,}77298\times10^{9}.
    • \dfrac{24\,000}{8{,}77298\times10^{9}}\approx 2{,}7379\times10^{-6}.
    • Raiz quártica: d_{\text{torção}}\approx (2{,}7379\times10^{-6})^{1/4}\approx 0,0407\\ \mathrm{m}çã.
  • Em milímetros:
d_{\text{torção}}\approx 0,0407\\ \mathrm{m}=40,7\\ \mathrm{mm}.çã

Passo 4

Comparação das duas restrições e escolha do diâmetro mínimo.
  • A restrição por tensão exigiu d_{\text{tensão}}\approx 31,7\\ \mathrm{mm}ã.
  • A restrição por torção exigiu d_{\text{torção}}\approx 40,7\\ \mathrm{mm}çã.
  • Para satisfazer ambas simultaneamente, o diâmetro do eixo deve ser o maior dos dois valores calculados, isto é, o que garante que nem a tensão nem o ângulo de torção sejam excedidos.
  • Portanto o diâmetro mínimo necessário é
d_{\min}=d_{\text{torção}}\approx 0,0407\\ \mathrm{m}=40,7\\ \mathrm{mm}.çã

Resposta

d_{\min}=0,0407\\ \mathrm{m}=40,7\\ \mathrm{mm}

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