Um eixo cilíndrico de aço de
de comprimento deve suportar um torque de
. Se o ângulo de torção não pode exceder
e a tensão de cisalhamento máxima é de 80 MPa , determine o diâmetro mínimo necessário para o eixo. (Considere
).
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
-
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- Torque aplicado:
. - Comprimento do eixo:
. - Ângulo de torção máximo permitido:
. - Tensão de cisalhamento admissível:
. - Módulo de cisalhamento do aço:
.
- Torque aplicado:
-
O que o problema pede:
- Determinar o diâmetro mínimo
do eixo cilíndrico sólido que satisfaça simultaneamente
(i) a condição de não exceder a tensão de cisalhamento máximae
(ii) a condição de não exceder o ângulo de torção máximo.
- Determinar o diâmetro mínimo
Passo 2
Fórmula da tensão de cisalhamento para eixo circular sólido submetido a torque.
- Para um eixo circular sólido, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por
onde:
-
é o torque aplicado, -
é o raio externo ( ), -
é o momento polar de inércia da seção transversal. -
Para seção circular sólida vale
- Substituindo
e na fórmula de obtemos, com contas explícitas,
- Isolando
na condição (ou seja, exigindo que o diâmetro seja pelo menos o necessário para que a tensão não ultrapasse o limite), temos
- Agora substituo os números (mostrando passos numéricos):
-
. -
.
-
-
Calculando numericamente:
-
. -
. - Raiz cúbica:
.
-
-
Converto para milímetros:
Passo 3
Fórmula do ângulo de torção para eixo circular sólido.
- A expressão do ângulo de torção
(em radianos) para um eixo de comprimento é
- Usando
obtemos
- Aqui:
-
deve ser menor ou igual a . - Então exigimos
-
- Primeiro converto o ângulo permitido para radianos (sempre usar radiano nas fórmulas):
- Substituo os valores:
-
. -
.
-
-
Calculando numericamente (passos):
-
. -
. -
. - Raiz quártica:
.ç ã
-
-
Em milímetros:
Passo 4
Comparação das duas restrições e escolha do diâmetro mínimo.
-
A restrição por tensão exigiu
.ã -
A restrição por torção exigiu
.ç ã -
Para satisfazer ambas simultaneamente, o diâmetro do eixo deve ser o maior dos dois valores calculados, isto é, o que garante que nem a tensão nem o ângulo de torção sejam excedidos.
-
Portanto o diâmetro mínimo necessário é