Durante a execução de uma concretagem em um dia muito quente, um técnico de obra precisa resfriar 25 litros de água usada para preparar uma argamassa especial. Essa ảgua encontra-se a 25^{\circ} \mathrm{C}, mas o engenheiro especificou que æ mistura deve iniciar a 0{ }^{\circ} \mathrm{C} para evitar perda de trabalhabilidade devido à alta temperatura ambiente. Para isso, decide-se adicionar gelo, armazenado em caixas térmicas a -20{ }^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que:
  • A água tem densidade aproximada de 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{L},
  • O gelo deve derreter completamente,
  • Não há trocas de calor com o ambiente,
  • O recipiente pode ser considerado ideal (despreze calor específico do balde/caixa), Determine a massa de gelo, em kg, inicialmente a -20^{\circ} \mathrm{C}, que deve ser adicionada à ảgua para que a temperatura final da mistura seja 0{ }^{\circ} \mathrm{C}, com todo o gelo derretido. Use:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temos 25 litros de água à temperatura inicial de 25^\circ\mathrm{C}. Como a densidade é aproximadamente 1\\ \mathrm{kg/L}, a massa da água é m_{\text{água}}=25\\ \mathrm{kg}á.
  • Deseja-se que a mistura atinja a temperatura final 0^\circ\mathrm{C}.
  • Adiciona-se gelo inicialmente à temperatura -20^\circ\mathrm{C}. O gelo deve derreter completamente.
  • Não há troca de calor com o ambiente e o recipiente não armazena calor (sistema isolado).
  • Pede-se determinar a massa de gelo m (em kg) necessária para que, após aquecer o gelo até 0^\circ\mathrm{C} e fundi-lo, a mistura final esteja a 0^\circ\mathrm{C}.
Não resolvemos nada ainda; apenas listamos os dados que vamos usar.

Passo 2

Vamos identificar as quantidades de calor que aparecem no processo e as constantes físicas necessárias. Explico de forma bem simples o que cada coisa significa:
  • Calor cedido pela água ao esfriar de 25^\circ\mathrm{C} para 0^\circ\mathrm{C}: a água perde energia térmica. Essa energia é calculada por
Q_{\text{água}} = m_{\text{água}}\, c_{\text{água}}\, \Delta T_{\text{água}},áááá
onde m_{\text{água}}á é a massa da água, c_{\text{água}}á é o calor específico da água (energia necessária para elevar 1 kg de água em 1 K) e \Delta T_{\text{água}}á é a variação de temperatura ( T_{\text{inicial}}-T_{\text{final}}).
  • Calor necessário para aquecer o gelo de -20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}: o gelo sólido tem calor específico menor que o da água líquida. Esse calor é
Q_{\text{aquecimento gelo}} = m\, c_{\text{gelo}}\, \Delta T_{\text{gelo}},
onde m é a massa do gelo procurada, c_{\text{gelo}} é o calor específico do gelo e \Delta T_{\text{gelo}} = 0 - (-20)=20\\ \mathrm{K}.
  • Calor necessário para fundir o gelo a 0^\circ\mathrm{C}: é o calor latente de fusão,
Q_{\text{fusão}} = m\, L_f,ã
onde L_f é o calor latente de fusão do gelo (energia para transformar 1 kg de gelo a 0^\circ\mathrm{C} em 1 kg de água a 0^\circ\mathrm{C}).
Como o sistema é isolado, o calor que a água perde vai todo para aquecer e fundir o gelo:
Q_{\text{água}} = Q_{\text{aquecimento gelo}} + Q_{\text{fusão}}.áã
Valores numéricos que vamos usar (valores padrão):
c_{\text{água}} = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad c_{\text{gelo}} = 2100\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad L_f = 334000\\ \mathrm{J/kg}.á
Explicação rápida: c está em joules por quilograma por kelvin; L_f em joules por quilograma.

Passo 3

Agora escrevemos a equação de balanço de energia explicitamente, substituindo os símbolos:
  • Energia perdida pela água ao esfriar de 25^\circ\mathrm{C} para 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{água}} = m_{\text{água}}\, c_{\text{água}}\, (25-0).ááá
  • Energia absorvida pelo gelo para aquecer de -20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} e depois fundir:
Q_{\text{gelo}} = m\, c_{\text{gelo}}\, (0-(-20)) + m\, L_f = m\bigl(c_{\text{gelo}}\cdot 20 + L_f\bigr).
Balanço de energia (conservação):
m_{\text{água}}\, c_{\text{água}}\, 25 = m\bigl(c_{\text{gelo}}\cdot 20 + L_f\bigr).áá

Passo 4

Isolamos m na equação para obter a expressão analítica que vamos calcular na prova:
m = \frac{m_{\text{água}}\, c_{\text{água}}\, 25}{c_{\text{gelo}}\cdot 20 + L_f}.áá
Substituímos m_{\text{água}}=25\\ \mathrm{kg}á e os valores numéricos das constantes:
m = \frac{25\cdot 4186 \cdot 25}{2100\cdot 20 + 334000}.
Vou calcular passo a passo (sem pular conta, para você poder reproduzir na prova):
  • Numerador: 25\cdot 4186 \cdot 25 = 25 \cdot (4186\cdot 25). Primeiro 4186\cdot 25 = 104650. Então numerador =25\cdot 104650 = 2616250\\ \mathrm{J}.
  • Denominador: 2100\cdot 20 + 334000 = 42000 + 334000 = 376000\\ \mathrm{J/kg}.
Portanto
m = \frac{2616250}{376000}.

Passo 5

Agora dividimos e obtemos o valor numérico final (faça na prova com calculadora ou fazendo a divisão longa; aqui eu já faço para você):
m \approx 6,9578\\ \mathrm{kg}.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos escrever m \approx 6,96\\ \mathrm{kg}. É bom, em situação de obra, arredondar para cima com margem de segurança e dizer que são necessários cerca de 7,0\\ \mathrm{kg} de gelo se quiser garantir que todo gelo derreta e a mistura fique em 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Checagem rápida de consistência (sempre útil na prova): se você colocasse menos gelo, haveria menos calor absorvido e a temperatura final seria maior que 0^\circ\mathrm{C}; se colocasse muito gelo, poderia sobrar gelo não derretido e ficar abaixo de 0^\circ\mathrm{C}. Nosso cálculo garante exatamente calor suficiente para levar todo o gelo até 0^\circ\mathrm{C} e fundi-lo com a energia cedida pela água ao cair de 25^\circ\mathrm{C} para 0^\circ\mathrm{C}.

Resposta

6,96\\ \mathrm{kg}

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