Exemplo 19.05 Distribuição de velocidades das moléculas de um gás
Um cilindro de oxigênio é mantido à temperatura ambiente (300 \mathrm{~K}). Qual é a fração das moléculas cuja velocidade está no intervalo de 599 a 601 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ? A massa molar M do oxigênio é 0,0320 \mathrm{~kg} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado pede a fração (probabilidade) das moléculas de oxigênio que têm velocidade no intervalo de 599 a 601\\ \mathrm{m/s}.
Dados fornecidos:
  • Temperatura: T=300\\ \mathrm{K}.
  • Massa molar do oxigênio: M=0{,}0320\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Intervalo de velocidades: v\in[599,601]\\ \mathrm{m/s}.
Não há mais informações no enunciado; vamos usar somente esses dados.

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (sem pular etapas): a distribuição de velocidades (distribuição de Maxwell–Boltzmann) dá a densidade de probabilidade para a velocidade escalar v de uma molécula numa amostra gasosa em equilíbrio térmico. A densidade de probabilidade por unidade de velocidade é
f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} v^2 \exp\!\left(-\frac{m v^2}{2 k_B T}\right),
onde:
  • f(v) tem unidades de \mathrm{(m/s)}^{-1} (probabilidade por unidade de velocidade),
  • m é a massa de uma molécula (em kg),
  • k_B é a constante de Boltzmann, k_B=1{,}380649\times 10^{-23}\\ \mathrm{J/K},
  • T é a temperatura em kelvin,
  • v é a velocidade (magnitude do vetor velocidade).
O significado prático: a fração de moléculas com velocidades entre v e v+dv é aproximadamente f(v)\,dv. Para um intervalo finito [v_1,v_2] a fração exata é \displaystyle\int_{v_1}^{v_2} f(v)\,dv.
Como o intervalo 599 601\\ \mathrm{m/s} é muito estreito (apenas 2\\ \mathrm{m/s}), é uma aproximação muito boa calcular a fração pela aproximação
\text{fração}\approx f(v_0)\,\Delta v,çã
onde v_0 é um ponto dentro do intervalo (por exemplo v_0=600\\ \mathrm{m/s}) e \Delta v = v_2-v_1=2\\ \mathrm{m/s}. Isso funciona porque f(v) não varia muito em intervalos tão pequenos — é a mesma ideia que aproximar uma integral por retângulo.

Passo 3

Calcular a massa de uma única molécula de O_2. A massa molar M dá a massa de um mol, então a massa de uma molécula é
m=\frac{M}{N_A},
onde N_A=6{,}02214076\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} (constante de Avogadro). Substituindo,
m=\frac{0{,}0320}{6{,}02214076\times 10^{23}}\\ \mathrm{kg} =5{,}313965\times 10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Aqui expliquei cada símbolo: M em \mathrm{kg/mol}, N_A em \mathrm{mol^{-1}}, logo o quociente tem unidade kg.

Passo 4

Vamos montar os elementos da fórmula f(v) para v_0=600\\ \mathrm{m/s}. Primeiro calculemos o argumento do exponencial:
\frac{m v_0^2}{2 k_B T}.
Substituindo valores:
v_0^2 = (600)^2 = 360000\\ \mathrm{(m/s)^2},
2 k_B T = 2\cdot 1{,}380649\times 10^{-23}\cdot 300 =8{,}283894\times 10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Agora
\frac{m v_0^2}{2 k_B T} = \frac{5{,}313965\times 10^{-26}\cdot 360000}{8{,}283894\times 10^{-21}} \approx 2{,}3094.
Portanto o exponencial é
\exp\!\left(-\frac{m v_0^2}{2 k_B T}\right)\approx e^{-2{,}3094}\approx 0{,}09936.

Passo 5

Agora calculemos o fator prefatorial
A = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}.
Para isso calculemos o termo interno:
\frac{m}{2\pi k_B T} = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{m}{2k_B T} \approx \frac{6{,}41495\times 10^{-6}}{\pi} \approx 2{,}04261\times 10^{-6}.
(Na linha anterior usei \frac{m}{2k_B T}\approx 6{,}41495\times 10^{-6}, obtido dividindo m por 2k_B T.)
Agora elevando à potência 3/2:
\left(2{,}04261\times 10^{-6}\right)^{3/2}\approx 2{,}91907\times 10^{-9}.
Multiplicando por 4\pi:
A \approx 4\pi \cdot 2{,}91907\times 10^{-9} \approx 3{,}66711\times 10^{-8}.

Passo 6

Calcule f(v_0) usando v_0=600\\ \mathrm{m/s}:
f(600)=A\cdot v_0^2 \cdot \exp\!\left(-\frac{m v_0^2}{2 k_B T}\right).
Substituindo os números que já temos:
v_0^2=360000,
A\approx 3{,}66711\times 10^{-8},
\exp(...) \approx 0{,}09936.
Logo
f(600) \approx 3{,}66711\times 10^{-8}\cdot 360000\cdot 0{,}09936 \approx 1{,}3118\times 10^{-3}\\ \mathrm{(m/s)^{-1}}.
Interpretação: a densidade de probabilidade em 600\\ \mathrm{m/s} é aproximadamente 0{,}0013118 por metro por segundo.

Passo 7

Aproximando a integral no intervalo 599 601\\ \mathrm{m/s} por f(600)\Delta v com \Delta v=2\\ \mathrm{m/s}, obtemos
\text{fração}\approx f(600)\cdot 2 \approx 1{,}3118\times 10^{-3}\cdot 2 = 2{,}6236\times 10^{-3}.çã
Em percentagem isso é aproximadamente 0{,}26236\%. A razão dessa aproximação ser boa é que f(v) é suave e o intervalo é pequeno; o erro é de ordem do comprimento do intervalo ao quadrado vezes a derivada, ou seja muito pequeno aqui.

Passo 8

Breve checagem de coerência (sem pular passos): a velocidade eficaz típica (por exemplo a velocidade quadrática média) para O_2 a 300\\ \mathrm{K} é
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}}\approx 484\\ \mathrm{m/s},
então 600\\ \mathrm{m/s} está numa cauda razoável, não absurdamente improvável — uma fração de ordem 10^{-3} faz sentido.

Resposta

2{,}6236\times 10^{-3}
0{,}26236\%

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