Exemplo 19.05 Distribuição de velocidades das moléculas de um gás
Um cilindro de oxigênio é mantido à temperatura ambiente
. Qual é a fração das moléculas cuja velocidade está no intervalo de 599 a
? A massa molar M do oxigênio é
.
Um cilindro de oxigênio é mantido à temperatura ambiente
Passo 1
O enunciado pede a fração (probabilidade) das moléculas de oxigênio que têm velocidade no intervalo de
a
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- Temperatura:
. - Massa molar do oxigênio:
. - Intervalo de velocidades:
.
Não há mais informações no enunciado; vamos usar somente esses dados.
Passo 2
Explicando a fórmula que vamos usar (sem pular etapas): a distribuição de velocidades (distribuição de Maxwell–Boltzmann) dá a densidade de probabilidade para a velocidade escalar
de uma molécula numa amostra gasosa em equilíbrio térmico. A densidade de probabilidade por unidade de velocidade é
onde:
-
tem unidades de (probabilidade por unidade de velocidade), -
é a massa de uma molécula (em kg), -
é a constante de Boltzmann, , -
é a temperatura em kelvin, -
é a velocidade (magnitude do vetor velocidade).
O significado prático: a fração de moléculas com velocidades entre
e
é aproximadamente
. Para um intervalo finito
a fração exata é
.
Como o intervalo
–
é muito estreito (apenas
), é uma aproximação muito boa calcular a fração pela aproximação
onde
é um ponto dentro do intervalo (por exemplo
) e
. Isso funciona porque
não varia muito em intervalos tão pequenos — é a mesma ideia que aproximar uma integral por retângulo.
Passo 3
Calcular a massa de uma única molécula de
. A massa molar
dá a massa de um mol, então a massa de uma molécula é
onde
(constante de Avogadro). Substituindo,
Aqui expliquei cada símbolo:
em
,
em
, logo o quociente tem unidade kg.
Passo 4
Vamos montar os elementos da fórmula
para
. Primeiro calculemos o argumento do exponencial:
Substituindo valores:
Agora
Portanto o exponencial é
Passo 5
Agora calculemos o fator prefatorial
Para isso calculemos o termo interno:
(Na linha anterior usei
, obtido dividindo
por
.)
Agora elevando à potência :
Agora elevando à potência
Multiplicando por
:
Passo 6
Calcule
usando
:
Substituindo os números que já temos:
Logo
Interpretação: a densidade de probabilidade em
é aproximadamente
por metro por segundo.
Passo 7
Aproximando a integral no intervalo
–
por
com
, obtemos
Em percentagem isso é aproximadamente
. A razão dessa aproximação ser boa é que
é suave e o intervalo é pequeno; o erro é de ordem do comprimento do intervalo ao quadrado vezes a derivada, ou seja muito pequeno aqui.
Passo 8
Breve checagem de coerência (sem pular passos): a velocidade eficaz típica (por exemplo a velocidade quadrática média) para
a
é
então
está numa cauda razoável, não absurdamente improvável — uma fração de ordem
faz sentido.