1. Durante um experimento de laboratório, um frasco cilíndrico de metal foi completamente preenchido com 72 \mathrm{cm}^{3} de álcool etílico a 18^{\circ} \mathrm{C}. O frasco permaneceu sobre uma bancada exposta ao sol, e sua temperatura subiu até 46^{\circ} \mathrm{C}. Ao retornar, a equipe observou que 1,8 \mathrm{~cm}^{3} de álcool havia extravasado pela borda. Sabe-se que o coeficiente de dilatação volumétrico do álcool é 1,12 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. Assumindo que o frasco estava totalmente cheio inicialmente, não houve evaporação, determine o coeficiente de dilatação volumétrico do frasco.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o coeficiente de dilatação volumétrico do frasco, supondo que ele estava totalmente cheio inicialmente e que não houve evaporação. Dados fornecidos pelo enunciado:
  • Volume inicial de álcool no frasco: V_0 = 72\\ \mathrm{cm}^3.
  • Temperatura inicial: T_i = 18^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_f = 46^{\circ}\mathrm{C}.
  • Volume de álcool extravasado (observado): \Delta V_{\text{extr}} = 1,8\\ \mathrm{cm}^3.
  • Coeficiente de dilatação volumétrico do álcool: \beta_{\text{álcool}} = 1,12\times 10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}á.
O que se quer: o coeficiente de dilatação volumétrico do frasco, que vou chamar de \beta_{\text{frasco}}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (mini-aula): quando um corpo sofre aquecimento homogêneo, o aumento de volume é proporcional ao volume inicial e à variação de temperatura. A relação é
\Delta V = \beta\, V_0\, \Delta T,
onde:
  • \Delta V é a variação de volume,
  • \beta é o coeficiente de dilatação volumétrico (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • V_0 é o volume inicial,
  • \Delta T = T_f - T_i é a variação de temperatura.
Explicando em palavras: se \beta for maior, o volume aumenta mais para a mesma \Delta T. Esse é o modelo linear usual para pequenas variações de temperatura.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = T_f - T_i = 46^{\circ}\mathrm{C} - 18^{\circ}\mathrm{C} = 28^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 4

Aplicando o modelo aos dois corpos:
  • Se o álcool estivesse livre (sem frasco), seu volume final seria
V_{\text{álcool,f}} = V_0\bigl(1 + \beta_{\text{álcool}}\,\Delta T\bigr).áá
  • O volume interno do frasco após aquecer será
V_{\text{frasco,f}} = V_0\bigl(1 + \beta_{\text{frasco}}\,\Delta T\bigr),
pois assumimos que inicialmente o frasco continha exatamente V_0.
Como não houve evaporação, o volume de álcool que extravasou é exatamente a diferença entre o volume que o álcool teria e a capacidade do frasco após aquecer:
\Delta V_{\text{extr}} = V_{\text{álcool,f}} - V_{\text{frasco,f}}.á

Passo 5

Substituindo as expressões:
\Delta V_{\text{extr}} = V_0\bigl(1 + \beta_{\text{álcool}}\,\Delta T\bigr) - V_0\bigl(1 + \beta_{\text{frasco}}\,\Delta T\bigr).á
Fatorando V_0:
\Delta V_{\text{extr}} = V_0\bigl(\beta_{\text{álcool}} - \beta_{\text{frasco}}\bigr)\Delta T.á
Isolando \beta_{\text{frasco}}:
\beta_{\text{frasco}} = \beta_{\text{álcool}} - \frac{\Delta V_{\text{extr}}}{V_0\,\Delta T}.á

Passo 6

Agora vamos substituir os valores numéricos, tomando cuidado com as contas:
  • V_0 = 72\\ \mathrm{cm}^3.
  • \Delta V_{\text{extr}} = 1,8\\ \mathrm{cm}^3.
  • \Delta T = 28\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • \beta_{\text{álcool}} = 1,12\times 10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}á.
Calcular a fração:
\frac{\Delta V_{\text{extr}}}{V_0\,\Delta T}=\frac{1,8}{72\cdot 28}.
Primeiro 72\cdot 28 = 2016. Então
\frac{1,8}{2016} = \frac{18}{20160} = \frac{1}{1120}.
Sabendo que \dfrac{1}{1120}\approx 8,9285714286\times 10^{-4}, temos
\beta_{\text{frasco}} = 1,12\times 10^{-3} - \frac{1}{1120}.
Substituindo numericamente:
\beta_{\text{frasco}} \approx 0,001120 - 0,0008928571429 = 0,0002271428571.

Passo 7

Interpretando e arredondando para três algarismos significativos (convencional em problemas desse tipo):
\beta_{\text{frasco}} \approx 2,27\times 10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Isso faz sentido: o álcool dilata mais que o frasco de metal, por isso houve extravasamento.

Resposta

\beta_{\text{frasco}} \approx 2,27\times 10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}

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