1. Um certo frasco de vidro está completamente cheio, com 88 \mathrm{~cm}^{3} de mercúrio. O conjunto encontra-se inicialmente a 32^{\circ} \mathrm{C}. No caso, o coeficiente de dilatação térmica volumétrico do mercúrio é 180 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} e o coeficiente de ditação térmico linear do vidro vale 9,00 \times 10^{-6}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}. Determine o volume de mercúrio que extravasa, quando a temperatura do conjunto se eleva para 82^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara. Informações:
\,V_0 = 88\\ \mathrm{cm}^3 (volume inicial de mercúrio, o frasco está completamente cheio)\n
\,T_{\text{inicial}} = 32^\circ\mathrm{C}\n
\,T_{\text{final}} = 82^\circ\mathrm{C}\n
\,\beta_{\text{Hg}} = 180\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} (coeficiente volumétrico do mercúrio)\n
\,\alpha_{\text{vidro}} = 9{,}00\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} (coeficiente linear do vidro)\n
O que se pede: determinar o volume de mercúrio que extravasa quando a temperatura sobe de 32^\circ\mathrm{C} para 82^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceito e fórmula principal que vamos usar. Quando um líquido tem coeficiente volumétrico \beta e sofre variação de temperatura \Delta T, a variação do seu volume é dada por
\Delta V = V_0\,\beta\,\Delta T,
onde V_0 é o volume inicial, \beta é o coeficiente volumétrico e \Delta T é a variação de temperatura. Aqui aplicamos isso ao mercúrio.
Para o frasco de vidro, temos o coeficiente linear \alpha. Se o vidro se expande isotropicamente, a variação relativa de volume é aproximadamente 3\alpha (explicação: se cada comprimento fica L=L_0(1+\alpha\Delta T), então o volume fica V=V_0(1+\alpha\Delta T)^3\approx V_0(1+3\alpha\Delta T) para \alpha\Delta T\ll1). Portanto o coeficiente volumétrico efetivo do vidro é
\beta_{\text{vidro}}\approx 3\alpha_{\text{vidro}}.
O volume do frasco cresce então segundo a mesma fórmula \Delta V_{\text{vidro}}=V_0\,\beta_{\text{vidro}}\,\Delta T. O mercúrio que extravasa é a diferença entre a expansão do mercúrio e a expansão do volume interno do frasco:
V_{\text{extravasa}}=\Delta V_{\text{Hg}}-\Delta V_{\text{vidro}},
se essa diferença for positiva (caso contrário não extravasa).

Passo 3

Calcular a variação de temperatura:
\Delta T = 82^\circ\mathrm{C}-32^\circ\mathrm{C}=50^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calcular a variação de volume do mercúrio usando \Delta V_{Hg}=V_0\,\beta_{Hg}\,\Delta T:
\Delta V_{Hg}=88\cdot\bigl(180\times10^{-6}\bigr)\cdot50.
Fazendo por etapas: \,180\times10^{-6}\cdot50 = 0{,}009. Então
\Delta V_{Hg}=88\cdot0{,}009=0{,}792\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 5

Calcular o coeficiente volumétrico do vidro e sua variação de volume. Primeiro
\beta_{\text{vidro}}=3\alpha_{\text{vidro}}=3\cdot\bigl(9{,}00\times10^{-6}\bigr)=27\times10^{-6}.
Agora
\Delta V_{\text{vidro}}=88\cdot\bigl(27\times10^{-6}\bigr)\cdot50.
De novo por etapas: \,27\times10^{-6}\cdot50 = 0{,}00135. Então
\Delta V_{\text{vidro}}=88\cdot0{,}00135=0{,}1188\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 6

Volume que extravasa: diferença entre as duas variações (positivo significa extravasamento):
V_{\text{extravasa}}=\Delta V_{Hg}-\Delta V_{\text{vidro}}=0{,}792-0{,}1188=0{,}6732\\ \mathrm{cm}^3.
Como o resultado é positivo, esse é o volume que sai do frasco.

Passo 7

Arredondamento e comentário final: mantendo três algarismos significativos compatíveis com os dados, podemos escrever V_{\text{extravasa}\!}=0{,}673\\ \mathrm{cm}^3. Força pra prova — esse é o raciocínio padrão: calcula-se a expansão do líquido, calcula-se a expansão do recipiente e toma-se a diferença.

Resposta

0{,}673\\ \mathrm{cm}^3

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