Um motorista foi surpreendido por uma pane seca em seu carro, isto é, total falta de combustível no tanque. Empurrou então seu carro até um posto de abastecimento, onde o frentista colocou 42 litros de gasolina, completando o tanque, à temperatura de
. Tendo deixado o carro estacionado ao sol no próprio posto, onde a temperatura chegou a
ao decorrer do dia, o motorista constatou, ao voltar, que parte da gasolina transbordara. Sendo
o coeficiente de dilatação térmica linear do material que é feito o tanque e
o coeficiente de dilatação térmico volumétrico da gasolina, determine, em mL, o volume de gasolina que transborda do tanque.
Passo 1
O enunciado diz que o tanque foi completado com gasolina num dia em que a temperatura era de
. O volume de gasolina colocado foi de
litros. Mais tarde a temperatura chegou a
e parte da gasolina transbordou. Os coeficientes dados são: o coeficiente de dilatação linear do material do tanque
e o coeficiente de dilatação volumétrica da gasolina
.\n\nO que o problema pede: determinar, em mL, o volume de gasolina que transborda do tanque quando a temperatura sobe de
para
.\n\nInformações relevantes que temos:
Passo 2
Conceito importante: dilatação volumétrica. Para um líquido (como a gasolina), quando a temperatura aumenta, seu volume varia segundo a fórmula
onde
é a variação de volume do líquido,
é o volume inicial,
é o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido e
é a variação de temperatura. Vou explicar cada termo:
é quanto havia inicialmente (aqui
),
diz quanto o volume relativo cresce por grau Celsius (no caso, por grau cresce em média
vezes o volume inicial), e
é quantos graus a temperatura subiu (aqui
).
Passo 3
Conceito para o tanque (sólido): o tanque é feito de um material que sofre dilatação linear com coeficiente
. Se o tanque é aproximadamente isotrópico (as três dimensões crescem proporcionalmente), sua dilatação volumétrica aproximada é
Isto vem de que, se cada dimensão linear cresce por um fator
, o volume cresce por
para pequenas
. Então definimos o coeficiente volumétrico efetivo do tanque como
.
Passo 4
Calculemos
a partir de
:
Passo 5
Agora vamos obter as variações de volume da gasolina e do tanque separadamente, usando
e
.
Variação volumétrica da gasolina:
Variação volumétrica do volume interno do tanque:
Passo 6
Calculemos primeiro o produto dos coeficientes pela variação de temperatura (faço passo a passo para ficar fácil de acompanhar):
Para a gasolina:
Calcule
:
. Logo
Para o tanque:
Calcule
:
. Logo
Passo 7
Agora as variações absolutas de volume (em litros):
Para a gasolina:
Calcule
:
.
Para o tanque:
Calcule
:
.
Passo 8
Intuição e resultado prático: o líquido aumentou mais do que o volume interno do tanque, então o excesso transborda. O volume que transborda é a diferença entre a variação do líquido e a variação do volume interno do tanque:
Substituindo os valores em litros:
Passo 9
Conversão para mL (porque o enunciado pediu em mL). Sabemos que
. Então
Passo 10
Arredondamento final e interpretação: mantemos um arredondamento apropriado para um problema experimental/prático — por exemplo, três algarismos significativos. Assim: