Um motorista foi surpreendido por uma pane seca em seu carro, isto é, total falta de combustível no tanque. Empurrou então seu carro até um posto de abastecimento, onde o frentista colocou 42 litros de gasolina, completando o tanque, à temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C}. Tendo deixado o carro estacionado ao sol no próprio posto, onde a temperatura chegou a 42^{\circ} \mathrm{C} ao decorrer do dia, o motorista constatou, ao voltar, que parte da gasolina transbordara. Sendo 2,1 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} o coeficiente de dilatação térmica linear do material que é feito o tanque e 1,8 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} o coeficiente de dilatação térmico volumétrico da gasolina, determine, em mL, o volume de gasolina que transborda do tanque.

Passo 1

O enunciado diz que o tanque foi completado com gasolina num dia em que a temperatura era de 15^{\circ}\mathrm{C}. O volume de gasolina colocado foi de 42 litros. Mais tarde a temperatura chegou a 42^{\circ}\mathrm{C} e parte da gasolina transbordou. Os coeficientes dados são: o coeficiente de dilatação linear do material do tanque \alpha = 2,1\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1} e o coeficiente de dilatação volumétrica da gasolina \beta_{\mathrm{g}} = 1,8\times10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.\n\nO que o problema pede: determinar, em mL, o volume de gasolina que transborda do tanque quando a temperatura sobe de 15^{\circ}\mathrm{C} para 42^{\circ}\mathrm{C}.\n\nInformações relevantes que temos:
\begin{aligned} &V_0 = 42\\ \mathrm{L}\quad\text{(volume inicial de gasolina e volume interno do tanque a }15^\circ\mathrm{C}\text{)}\\\ &\alpha = 2,1\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}\\\ &\beta_{\mathrm{g}} = 1,8\times10^{-3}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}\\\ &T_{\text{inicial}} = 15^\circ\mathrm{C},\quad T_{\text{final}} = 42^\circ\mathrm{C}\\\ &\Delta T = 27^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}

Passo 2

Conceito importante: dilatação volumétrica. Para um líquido (como a gasolina), quando a temperatura aumenta, seu volume varia segundo a fórmula
\Delta V_{\text{líq}} = V_0\,\beta_{\mathrm{g}}\,\Delta T,í
onde \Delta V_{\text{líq}}í é a variação de volume do líquido, V_0 é o volume inicial, \beta_{\mathrm{g}} é o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido e \Delta T é a variação de temperatura. Vou explicar cada termo: V_0 é quanto havia inicialmente (aqui 42\\ \mathrm{L}), \beta_{\mathrm{g}} diz quanto o volume relativo cresce por grau Celsius (no caso, por grau cresce em média 1,8\times10^{-3} vezes o volume inicial), e \Delta T é quantos graus a temperatura subiu (aqui 27^\circ\mathrm{C}).

Passo 3

Conceito para o tanque (sólido): o tanque é feito de um material que sofre dilatação linear com coeficiente \alpha. Se o tanque é aproximadamente isotrópico (as três dimensões crescem proporcionalmente), sua dilatação volumétrica aproximada é
\beta_{\text{tanque}} \approx 3\alpha.
Isto vem de que, se cada dimensão linear cresce por um fator 1+\alpha\Delta T, o volume cresce por (1+\alpha\Delta T)^3\approx 1+3\alpha\Delta T para pequenas \alpha\Delta T. Então definimos o coeficiente volumétrico efetivo do tanque como \beta_{\text{t}}=3\alpha.

Passo 4

Calculemos \beta_{\text{t}} a partir de \alpha:
\beta_{\text{t}} = 3\alpha = 3\times\left(2,1\times10^{-5}\right)\,^\circ\mathrm{C}^{-1} = 6,3\times10^{-5}\,^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 5

Agora vamos obter as variações de volume da gasolina e do tanque separadamente, usando \Delta T = 27^\circ\mathrm{C} e V_0 = 42\\ \mathrm{L}.
Variação volumétrica da gasolina:
\Delta V_{\mathrm{g}} = V_0\,\beta_{\mathrm{g}}\,\Delta T = 42\\ \mathrm{L}\times\left(1,8\times10^{-3}\right)\,^\circ\mathrm{C}^{-1}\times27^\circ\mathrm{C}.
Variação volumétrica do volume interno do tanque:
\Delta V_{\text{t}} = V_0\,\beta_{\text{t}}\,\Delta T = 42\\ \mathrm{L}\times\left(6,3\times10^{-5}\right)\,^\circ\mathrm{C}^{-1}\times27^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calculemos primeiro o produto dos coeficientes pela variação de temperatura (faço passo a passo para ficar fácil de acompanhar):
Para a gasolina:
\beta_{\mathrm{g}}\,\Delta T = \left(1,8\times10^{-3}\right)\times27 = 1,8\times27\times10^{-3}.
Calcule 1,8\times27: 1,8\times27 = 48,6. Logo
\beta_{\mathrm{g}}\,\Delta T = 48,6\times10^{-3} = 0,0486.
Para o tanque:
\beta_{\text{t}}\,\Delta T = \left(6,3\times10^{-5}\right)\times27 = 6,3\times27\times10^{-5}.
Calcule 6,3\times27: 6,3\times27 = 170,1. Logo
\beta_{\text{t}}\,\Delta T = 170,1\times10^{-5} = 0,001701.

Passo 7

Agora as variações absolutas de volume (em litros):
Para a gasolina:
\Delta V_{\mathrm{g}} = 42\\ \mathrm{L}\times 0,0486 = 42\times0,0486\\ \mathrm{L}.
Calcule 42\times0,0486: 42\times0,0486 = 2,0412\\ \mathrm{L}.
Para o tanque:
\Delta V_{\text{t}} = 42\\ \mathrm{L}\times 0,001701 = 42\times0,001701\\ \mathrm{L}.
Calcule 42\times0,001701: 42\times0,001701 = 0,071442\\ \mathrm{L}.

Passo 8

Intuição e resultado prático: o líquido aumentou mais do que o volume interno do tanque, então o excesso transborda. O volume que transborda é a diferença entre a variação do líquido e a variação do volume interno do tanque:
V_{\text{transborda}} = \Delta V_{\mathrm{g}} - \Delta V_{\text{t}}.
Substituindo os valores em litros:
V_{\text{transborda}} = 2,0412\\ \mathrm{L} - 0,071442\\ \mathrm{L} = 1,969758\\ \mathrm{L}.

Passo 9

Conversão para mL (porque o enunciado pediu em mL). Sabemos que 1\\ \mathrm{L} = 1000\\ \mathrm{mL}. Então
V_{\text{transborda}} = 1,969758\\ \mathrm{L}\times1000\\ \frac{\mathrm{mL}}{\mathrm{L}} = 1969,758\\ \mathrm{mL}.

Passo 10

Arredondamento final e interpretação: mantemos um arredondamento apropriado para um problema experimental/prático — por exemplo, três algarismos significativos. Assim:
V_{\text{transborda}}\approx 1,97\times10^{3}\\ \mathrm{mL} = 1970\\ \mathrm{mL}.

Resposta

1,97\times10^{3}\\ \mathrm{mL}

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