Durante uma feira de ciências, alunos do ensino médio construíram um modelo de vulcão em forma de cone circular reto com base plana apoiada sobre a mesa. O vulcão tem 30 cm de altura e 20 cm de raio na base.
Para a apresentação, o grupo pretende cobrir toda a superfície lateral do vulcão com papel alumínio, e precisa saber quanto material será necessário, desconsiderando a base. Qual a quantidade de material necessária?

Passo 1

O enunciado dá um modelo de vulcão na forma de um cone circular reto apoiado pela base. O que nos foi informado e o que se pede:
  • Dados fornecidos: altura do cone \,30\,\text{cm} e raio da base \,20\,\text{cm}.
  • O que pedem: a quantidade de papel alumínio necessária para cobrir toda a superfície lateral do vulcão, ou seja, a área lateral do cone (desconsiderar a base).

Passo 2

Vamos identificar as variáveis que vamos usar (pra ficar tudo claro na hora da prova):
  • r = raio da base do cone. Aqui \,r=20\,\text{cm}.
  • h = altura do cone. Aqui \,h=30\,\text{cm}.
  • l = geratriz (ou altura lateral) do cone — é a hipotenusa do triângulo reto que surge ao cortar o cone ao longo de uma geratriz.
  • A_{\text{lat}} = área lateral do cone, que é justamente o material que precisamos.
Antes de calcular a área lateral, precisamos encontrar \,l.

Passo 3

Como obter \,l? Corte imaginariamente o cone desde a borda da base até o vértice; isso forma um triângulo retângulo com catetos r e h e hipotenusa l. Pelo Teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é o quadrado da hipotenusa. Em fórmula:
l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}.
Aqui cada símbolo significa: r é o raio, h é a altura vertical, l é a distância inclinada do vértice até a borda (geratriz).

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
l = \sqrt{(20)^{2} + (30)^{2}} = \sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300}.
Podemos simplificar \sqrt{1300} fatorando 1300 = 100\cdot 13, então
l = \sqrt{100\cdot 13} = 10\sqrt{13}\,\text{cm}.
Se quiseres uma aproximação decimal, \sqrt{13}\approx 3,60555, então l \approx 36,06\,\text{cm}.

Passo 5

Qual é a fórmula da área lateral do cone? Quando desenrolamos a superfície lateral do cone ela vira um setor circular de raio l cujo comprimento de arco é igual à circunferência da base 2\pi r. A área de um setor circular é \tfrac{1}{2}\times(\text{raio do setor})\times(\text{comprimento do arco}). Aplicando isso ao cone:
A_{\text{lat}} = \tfrac{1}{2}\cdot l \cdot (2\pi r) = \pi r l.
Aqui A_{\text{lat}} é a área lateral, r o raio da base e l a geratriz.

Passo 6

Substituímos r e l na fórmula:
A_{\text{lat}} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot 20 \cdot 10\sqrt{13}.
Multiplicando os números:
A_{\text{lat}} = 200\pi\sqrt{13}\,\text{cm}^{2}.

Passo 7

Para termos uma ideia prática do quanto é isso em número aproximado, fazemos a aproximação numérica:
200\pi\sqrt{13}\approx 2265,83\,\text{cm}^{2}.
(uso da aproximação \sqrt{13}\approx 3,60555 e \pi\approx 3,14159.)

Passo 8

Resumo final e dica rápida: a resposta exata é \,200\pi\sqrt{13}\,\text{cm}^{2}. Na prova, se pedirem valor numérico, podes dar \approx 2265,83\,\text{cm}^{2}. Não esquece que, na prática de cobrir com papel alumínio, costuma-se adicionar uma pequena margem para sobreposição, mas isso não foi pedido no enunciado.

Resposta

200\pi\sqrt{13}\,\text{cm}^{2}\approx 2265,83\,\text{cm}^{2}

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