Durante uma feira de ciências, alunos do ensino médio construíram um modelo de vulcão em forma de cone circular reto com base plana apoiada sobre a mesa. O vulcão tem 30 cm de altura e 20 cm de raio na base.
Para a apresentação, o grupo pretende cobrir toda a superfície lateral do vulcão com papel alumínio, e precisa saber quanto material será necessário, desconsiderando a base. Qual a quantidade de material necessária?
Para a apresentação, o grupo pretende cobrir toda a superfície lateral do vulcão com papel alumínio, e precisa saber quanto material será necessário, desconsiderando a base. Qual a quantidade de material necessária?
Passo 1
O enunciado dá um modelo de vulcão na forma de um cone circular reto apoiado pela base. O que nos foi informado e o que se pede:
- Dados fornecidos: altura do cone
e raio da base . - O que pedem: a quantidade de papel alumínio necessária para cobrir toda a superfície lateral do vulcão, ou seja, a área lateral do cone (desconsiderar a base).
Passo 2
Vamos identificar as variáveis que vamos usar (pra ficar tudo claro na hora da prova):
-
= raio da base do cone. Aqui . -
= altura do cone. Aqui . -
= geratriz (ou altura lateral) do cone — é a hipotenusa do triângulo reto que surge ao cortar o cone ao longo de uma geratriz. -
= área lateral do cone, que é justamente o material que precisamos.
Antes de calcular a área lateral, precisamos encontrar
.
Passo 3
Como obter
? Corte imaginariamente o cone desde a borda da base até o vértice; isso forma um triângulo retângulo com catetos
e
e hipotenusa
. Pelo Teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é o quadrado da hipotenusa. Em fórmula:
Aqui cada símbolo significa:
é o raio,
é a altura vertical,
é a distância inclinada do vértice até a borda (geratriz).
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos:
Podemos simplificar
fatorando
, então
Se quiseres uma aproximação decimal,
, então
.
Passo 5
Qual é a fórmula da área lateral do cone? Quando desenrolamos a superfície lateral do cone ela vira um setor circular de raio
cujo comprimento de arco é igual à circunferência da base
. A área de um setor circular é
. Aplicando isso ao cone:
Aqui
é a área lateral,
o raio da base e
a geratriz.
Passo 6
Substituímos
e
na fórmula:
Multiplicando os números:
Passo 7
Para termos uma ideia prática do quanto é isso em número aproximado, fazemos a aproximação numérica:
(uso da aproximação
e
.)
Passo 8
Resumo final e dica rápida: a resposta exata é
. Na prova, se pedirem valor numérico, podes dar
. Não esquece que, na prática de cobrir com papel alumínio, costuma-se adicionar uma pequena margem para sobreposição, mas isso não foi pedido no enunciado.