Em uma sorveteria gourmet, os sorvetes são servidos em taças com o formato de tronco de cone circular reto, com as seguintes medidas:
  • Raio da base maior: \mathrm{R}=6 \mathrm{~cm}
  • Raio da base menor: r=4 \mathrm{~cm}
  • Altura da taça (tronco de cone): \mathrm{h}=10 \mathrm{~cm} O sorvete é servido até a borda da taça (ou seja, o tronco de cone é completamente preenchido com sorvete), e ainda se adiciona uma bola de sorvete com formato esférico, que fica sobre a taça. Essa esfera tem 10 cm de diâmetro. Calcule o volume total de sorvete servido, considerando o conteúdo da taça e a bola de sorvete.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o volume total de sorvete servido, que é a soma do volume da taça (um tronco de cone totalmente preenchido) e de uma bola de sorvete esférica colocada sobre a taça.
Dados fornecidos:
  • Raio da base maior da taça: R=6\\ \text{cm}.
  • Raio da base menor da taça: r=4\\ \text{cm}.
  • Altura da taça (altura do tronco de cone): h=10\\ \text{cm}.
  • Diâmetro da esfera (bola de sorvete): 10\\ \text{cm}. Portanto o raio da esfera é R_{\text{esf}}=5\\ \text{cm}.
Objetivo final: obter o volume total
V_{\text{total}} = V_{\text{taça}} + V_{\text{bola}}.ç

Passo 2

Fórmula do volume do tronco de cone e explicação didática.
Fórmula conhecida:
V_{\text{tronco}}=\frac{1}{3}\pi h\bigl(R^{2}+Rr+r^{2}\bigr).
Por que essa fórmula vale? Explicação passo a passo (breve derivação intuitiva):
  • O volume de um cone circular reto de altura H e raio da base R é \displaystyle V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}H. Aqui cada símbolo significa: \pi é a constante 3,1415…, R é o raio da base e H é a altura do cone.
  • Um tronco de cone pode ser visto como a diferença entre dois cones coaxiais: um cone maior (raio da base R e altura H) menos um cone menor que foi “cortado” (raio da base r e altura H-h). Então
V_{\text{tronco}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}H - \frac{1}{3}\pi r^{2}(H-h).
  • Usando semelhança de triângulos entre as geratrizes dos cones, obtemos a relação \displaystyle \frac{R}{H}=\frac{R-r}{h}, que permite eliminar H e, após simplificar, chegar à fórmula
V_{\text{tronco}}=\frac{1}{3}\pi h\bigl(R^{2}+Rr+r^{2}\bigr).
Portanto podemos aplicar essa fórmula diretamente com R, r e h dados.

Passo 3

Aplicando a fórmula do tronco de cone aos números dados.
Calcule os termos:
R^{2}=6^{2}=36,\qquad r^{2}=4^{2}=16,\qquad Rr=6\cdot4=24.
Some-os:
R^{2}+Rr+r^{2}=36+24+16=76.
Agora aplique a fórmula:
V_{\text{taça}}=\frac{1}{3}\pi\cdot h\cdot 76=\frac{1}{3}\pi\cdot 10\cdot 76=\frac{760}{3}\pi\\ \text{cm}^{3}.ç
Calculando em valor numérico aproximado:
\frac{760}{3}\approx 253{,}333\quad\Rightarrow\quad V_{\text{taça}}\approx 253{,}333\pi\approx 795{,}77\\ \text{cm}^{3}.ç

Passo 4

Fórmula do volume da esfera e aplicação.
Fórmula conhecida:
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi R_{\text{esf}}^{3},
onde R_{\text{esf}} é o raio da esfera.
Aqui R_{\text{esf}}=5\\ \text{cm}, então
V_{\text{bola}}=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 125=\frac{500}{3}\pi\\ \text{cm}^{3}.
Valor numérico aproximado:
\frac{500}{3}\approx 166{,}6667\quad\Rightarrow\quad V_{\text{bola}}\approx 166{,}6667\pi\approx 523{,}60\\ \text{cm}^{3}.

Passo 5

Somando os volumes (exato e aproximado).
Soma exata (somando as frações com fator \pi):
V_{\text{total}}=V_{\text{taça}}+V_{\text{bola}}=\frac{760}{3}\pi+\frac{500}{3}\pi=\frac{1260}{3}\pi=420\pi\\ \text{cm}^{3}.ç
Valor numérico aproximado:
V_{\text{total}}\approx 420\pi\approx 1319{,}47\\ \text{cm}^{3}.

Resposta

\;420\pi\\ \text{cm}^{3}
\;\approx 1319{,}47\\ \text{cm}^{3}

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