Em uma sorveteria gourmet, os sorvetes são servidos em taças com o formato de tronco de cone circular reto, com as seguintes medidas:
- Raio da base maior:
- Raio da base menor:
- Altura da taça (tronco de cone):
O sorvete é servido até a borda da taça (ou seja, o tronco de cone é completamente preenchido com sorvete), e ainda se adiciona uma bola de sorvete com formato esférico, que fica sobre a taça. Essa esfera tem 10 cm de diâmetro. Calcule o volume total de sorvete servido, considerando o conteúdo da taça e a bola de sorvete.
Passo 1
O que o problema pede: calcular o volume total de sorvete servido, que é a soma do volume da taça (um tronco de cone totalmente preenchido) e de uma bola de sorvete esférica colocada sobre a taça.
Dados fornecidos:
- Raio da base maior da taça:
. - Raio da base menor da taça:
. - Altura da taça (altura do tronco de cone):
. - Diâmetro da esfera (bola de sorvete):
. Portanto o raio da esfera é .
Objetivo final: obter o volume total
Passo 2
Fórmula do volume do tronco de cone e explicação didática.
Fórmula conhecida:
Por que essa fórmula vale? Explicação passo a passo (breve derivação intuitiva):
- O volume de um cone circular reto de altura
e raio da base é . Aqui cada símbolo significa: é a constante 3,1415…, é o raio da base e é a altura do cone. - Um tronco de cone pode ser visto como a diferença entre dois cones coaxiais: um cone maior (raio da base
e altura ) menos um cone menor que foi “cortado” (raio da base e altura ). Então
- Usando semelhança de triângulos entre as geratrizes dos cones, obtemos a relação
, que permite eliminar e, após simplificar, chegar à fórmula
Portanto podemos aplicar essa fórmula diretamente com
,
e
dados.
Passo 3
Aplicando a fórmula do tronco de cone aos números dados.
Calcule os termos:
Some-os:
Agora aplique a fórmula:
Calculando em valor numérico aproximado:
Passo 4
Fórmula do volume da esfera e aplicação.
Fórmula conhecida:
onde
é o raio da esfera.
Aqui
, então
Valor numérico aproximado:
Passo 5
Somando os volumes (exato e aproximado).
Soma exata (somando as frações com fator
):
Valor numérico aproximado: