Dois pontos A e B estão localizados na superfície lateral de um cilindro reto de raio
e altura
. O ponto A está na base inferior, enquanto o ponto B está na base superior, exatamente no lado oposto. Calcule a menor distância sobre a superfície do cilindro entre os pontos A e B. (Considere
)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações dadas:
.
.
O ponto está sobre a superfície lateral na base inferior.
O ponto está sobre a superfície lateral na base superior, exatamente no lado oposto a
(ou seja, separação angular de
radianos).
Pede-se: calcular a menor distância sobre a superfície lateral do cilindro entre e
. Considere
.
O ponto
O ponto
Pede-se: calcular a menor distância sobre a superfície lateral do cilindro entre
Passo 2
Entendimento geométrico (ideeinha simples e poderosa): se cortarmos a superfície lateral do cilindro e a “abrirmos” (desenrolarmos), ela vira um retângulo cuja largura é o comprimento da circunferência e cuja altura é a altura do cilindro. Dimensões desse retângulo:
a largura é (comprimento da circunferência).
a altura é .
Quando desenrolamos, caminhos geodésicos (os mais curtos sobre a superfície lateral) correspondem a retas no retângulo desenvolvido. Então o problema reduz a: encontrar a menor distância entre dois pontos em um retângulo, lembrando que o retângulo é “periódico” horizontalmente (pontos separados por múltiplos de representam a mesma posição no cilindro).
a largura é
a altura é
Quando desenrolamos, caminhos geodésicos (os mais curtos sobre a superfície lateral) correspondem a retas no retângulo desenvolvido. Então o problema reduz a: encontrar a menor distância entre dois pontos em um retângulo, lembrando que o retângulo é “periódico” horizontalmente (pontos separados por múltiplos de
Passo 3
Determinar a separação horizontal entre
e
no retângulo desenvolvido. Eles são colocados em bases opostas, logo a separação angular é
radianos, portanto o deslocamento horizontal (comprimento do arco) é
Usando
e
, teremos
Passo 4
Considerar imagens periódicas: no retângulo a distância horizontal efetiva entre
e uma cópia de
pode ser
para qualquer inteiro
. A distância correspondente (linha reta no retângulo) é
Procuramos o menor
para
. Aqui
. Como
, os valores com
e
dão a mesma distância absoluta mínima horizontal, porque
e
são iguais; escolhas com
em sentido diferente aumentam a componente horizontal. Logo o menor caso é o com componente horizontal mínima
.
Passo 5
Portanto a menor distância sobre a superfície é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos
(horizontal) e
(vertical). Escrevemos:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Dar uma aproximação numérica para uso prático. Calculando a raiz:
Força e relaxa: o raciocínio principal é sempre “desenrola o cilindro → reta no retângulo → aplica Pitágoras”.