Dois pontos A e B estão localizados na superfície lateral de um cilindro reto de raio R=5 \mathrm{~cm} e altura h =12 \mathrm{~cm}. O ponto A está na base inferior, enquanto o ponto B está na base superior, exatamente no lado oposto. Calcule a menor distância sobre a superfície do cilindro entre os pontos A e B. (Considere \pi=3 )

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações dadas:
\;R=5\\ \text{cm}.
\;h=12\\ \text{cm}.
O ponto A está sobre a superfície lateral na base inferior.
O ponto B está sobre a superfície lateral na base superior, exatamente no lado oposto a A (ou seja, separação angular de \pi radianos).
Pede-se: calcular a menor distância sobre a superfície lateral do cilindro entre A e B. Considere \pi=3.

Passo 2

Entendimento geométrico (ideeinha simples e poderosa): se cortarmos a superfície lateral do cilindro e a “abrirmos” (desenrolarmos), ela vira um retângulo cuja largura é o comprimento da circunferência e cuja altura é a altura do cilindro. Dimensões desse retângulo:
a largura é \;2\pi R (comprimento da circunferência).
a altura é \;h.
Quando desenrolamos, caminhos geodésicos (os mais curtos sobre a superfície lateral) correspondem a retas no retângulo desenvolvido. Então o problema reduz a: encontrar a menor distância entre dois pontos em um retângulo, lembrando que o retângulo é “periódico” horizontalmente (pontos separados por múltiplos de 2\pi R representam a mesma posição no cilindro).

Passo 3

Determinar a separação horizontal entre A e B no retângulo desenvolvido. Eles são colocados em bases opostas, logo a separação angular é \pi radianos, portanto o deslocamento horizontal (comprimento do arco) é
\Delta x = R\cdot \pi.
Usando \pi=3 e R=5\\ \text{cm}, teremos \Delta x = 5\cdot 3 = 15\\ \text{cm}.

Passo 4

Considerar imagens periódicas: no retângulo a distância horizontal efetiva entre A e uma cópia de B pode ser \Delta x + k\cdot 2\pi R para qualquer inteiro k. A distância correspondente (linha reta no retângulo) é
d_k = \sqrt{\big(\Delta x + k\cdot 2\pi R\big)^2 + h^2}.
Procuramos o menor d_k para k\in\mathbb{Z}. Aqui \Delta x = \pi R. Como \pi R>0, os valores com k=0 e k=-1 dão a mesma distância absoluta mínima horizontal, porque
\pi R e |\pi R-2\pi R|=\pi R são iguais; escolhas com |k|\ge1 em sentido diferente aumentam a componente horizontal. Logo o menor caso é o com componente horizontal mínima \pi R.

Passo 5

Portanto a menor distância sobre a superfície é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos \pi R (horizontal) e h (vertical). Escrevemos:
d_{\min}=\sqrt{(\pi R)^2+h^2}.
Substituindo \pi=3, R=5 e h=12:
\pi R = 3\cdot 5 = 15,
d_{\min}=\sqrt{15^2+12^2}=\sqrt{225+144}=\sqrt{369}.

Passo 6

Dar uma aproximação numérica para uso prático. Calculando a raiz:
\sqrt{369}\approx 19{,}21\\ \text{cm}.
Força e relaxa: o raciocínio principal é sempre “desenrola o cilindro → reta no retângulo → aplica Pitágoras”.

Resposta

\sqrt{369}\,\text{cm}\approx 19{,}21\,\text{cm}

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