Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?
a) 69
b) 70
c) 90
d) 104
e) 105

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 8 amigos, sendo que 2 são canhotos, e precisa formar 4 duplas para um torneio de vôlei de praia. A regra é que nenhuma dupla pode ter dois canhotos juntos. Vamos usar combinatória, que é a parte da matemática que estuda as contagens de maneiras diferentes de organizar grupos. Precisamos calcular de quantas formas diferentes podemos formar essas duplas respeitando essa restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quantas maneiras existem de formar 4 duplas sem nenhuma restrição. Para isso, usamos uma fórmula da combinatória para dividir 8 pessoas em 4 pares:
8!4! times 2^4 = 105
Aqui, o 8! (8 fatorial) é o produto de todos os números de 1 a 8, que conta todas as possíveis permutações. Dividimos por 4! porque a ordem das duplas não importa, e por 2^4 porque dentro de cada dupla a ordem também não importa.

Passo 3

Agora, precisamos descontar as formações que não são permitidas, ou seja, aquelas onde os dois canhotos ficam juntos em uma dupla. Se os dois canhotos estão juntos, temos uma dupla fixa com eles, e precisamos formar as outras 3 duplas com os 6 amigos restantes. O número de maneiras de formar essas 3 duplas é:
6!3! times 2^3 = 15
Então, existem 15 formações que violam a regra.

Passo 4

Para encontrar o número de formações válidas, subtraímos as formações inválidas das total:
105 - 15 = 90

Resposta

90

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