Durante uma inspeção em um canteiro de obras, um engenheiro nota que um recipiente metálico de cobre, de 2,0 \mathrm{~kg} de massa, usado para aquecer água destinada à cura de concreto, ficou exposto ao sol intenso e atingiu uma temperatura de 150^{\circ} \mathrm{C}. Para evitar o desperdício do recipiente e reaproveitar a água quente, o técnico decide resfriá-lo despejando 0,10 \mathrm{~kg} de água fria, inicialmente a 25{ }^{\circ} \mathrm{C}, dentro do recipiente e fechando-o imediatamente, garantindo que nenhum vapor escape. O conjunto (recipiente + água) forma então um sistema termicamente isolado, sem perda de calor para o ambiente. Caso necessário, considere: calor específico do cobre c_{c u}=0,093 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}}; calor específico da água c_{\text {água }}=1,0 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}}á; L_{v}= 540 \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}}. Desprezando qualquer troca de calor com o ambiente, determine a temperatura final de equilíbrio térmico do conjunto e diga em qual fase a água permanecerá ao final do processo (líquida, vapor ou ambas).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura final de equilíbrio térmico do conjunto (recipiente de cobre + água) depois de misturar.
  • Dizer em qual fase a água permanecerá ao final do processo: líquida, vapor, ou ambas.
Informações fornecidas (transcritas do enunciado):
  • Massa do recipiente de cobre: m_{cu}=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do cobre: T_{cu,i}=150^\circ\mathrm{C}.
  • Massa da água adicionada: m_{w}=0{,}10\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial da água: T_{w,i}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Sistema termicamente isolado (nenhuma troca de calor com o ambiente).
  • Calor específico do cobre: c_{cu}=0{,}093\\ \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}}.
  • Calor específico da água (líquida): c_{w}=1{,}0\\ \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}}.
  • Calor latente de vaporização da água: L_{v}=540\\ \dfrac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}}.
  • Observação do enunciado: o recipiente foi fechado garantindo que nenhum vapor escape (sistema fechado).

Passo 2

Escolha do método e conceitos básicos (aula rápida e amigável)
  • Método: conservação de energia em um sistema isolado — todo calor perdido por corpos quentes é ganho por corpos mais frios dentro do sistema. Em fórmula: a soma algébrica dos calores trocados é zero.
  • Calor sensível (aquecimento/resfriamento sem mudança de fase): a expressão usada é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q é o calor (positivo se recebido, negativo se cedido), m é a massa, c é o calor específico e \Delta T = T_{f}-T_{i} é a variação de temperatura.
  • Calor latente (mudança de fase sem variação de temperatura): a expressão usada é
Q_{\text{lat}} = m_{\text{ev}}\,L_{v},
onde m_{\text{ev}} é a massa que vaporiza e L_{v} é o calor latente de vaporização (energia por unidade de massa).
  • Estratégia prática: primeiro verificar se a água atinge 100^\circ\mathrm{C}. Para isso calculamos o calor necessário para levar a água de 25^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C} e comparamos com o calor que o cobre pode ceder ao esfriar até 100^\circ\mathrm{C}. Se o cobre fornece mais calor do que o necessário para aquecer a água a 100^\circ\mathrm{C}, haverá vaporizações parciais (ou totais). Se fornecer menos, a temperatura de equilíbrio será abaixo de 100^\circ\mathrm{C} e não há vapor.
  • Nota prática para provas: sempre checar primeiro se ocorre mudança de fase calculando energias até a temperatura de mudança de fase (aqui 100^\circ\mathrm{C}).

Passo 3

Calor necessário para aquecer a água de 25^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}
  • Fórmula: Q_{w,\,aquec} = m_{w}\,c_{w}\,(100 - 25).
  • Substituindo:
Q_{w,\,aquec} = 0{,}10\\ \mathrm{kg}\times 1{,}0\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}}\times(100-25).
  • Cálculo:
Q_{w,\,aquec} = 0{,}10\times 1{,}0\times 75 = 7{,}5\\ \mathrm{kcal}.
Interpretação: precisamos de 7{,}5\\ \mathrm{kcal} para levar toda a água até 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Calor que o cobre pode ceder ao esfriar de 150^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}
  • Fórmula: Q_{cu,\,cedido} = m_{cu}\,c_{cu}\,(150 - 100). (positivo aqui se considerarmos “disponível” para aquecer)
  • Substituindo:
Q_{cu,\,cedido} = 2{,}0\\ \mathrm{kg}\times 0{,}093\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}}\times(150-100).
  • Cálculo:
Q_{cu,\,cedido} = 2{,}0\times 0{,}093\times 50 = 0{,}186\times 50 = 9{,}3\\ \mathrm{kcal}.
Interpretação: se o cobre esfriar até 100^\circ\mathrm{C} ele fornece até 9{,}3\\ \mathrm{kcal}.

Passo 5

Comparação e conclusão sobre se a água atinge 100^\circ\mathrm{C}
  • Precisamos de 7{,}5\\ \mathrm{kcal} para aquecer a água até 100^\circ\mathrm{C}.
  • O cobre pode ceder até 9{,}3\\ \mathrm{kcal} ao resfriar até 100^\circ\mathrm{C}.
  • Como 9{,}3\\ \mathrm{kcal} > 7{,}5\\ \mathrm{kcal}, a água alcança 100^\circ\mathrm{C}. Após aquecer a água até 100^\circ\mathrm{C} ainda sobra energia disponível do cobre:
Q_{\text{sobrante}} = Q_{cu,\,cedido} - Q_{w,\,aquec} = 9{,}3 - 7{,}5 = 1{,}8\\ \mathrm{kcal}.
Essa energia sobrante servirá para vaporizar parte da água (se houver água líquida disponível).

Passo 6

Verificação se a sobra é suficiente para vaporizar toda a água
  • Energia necessária para vaporizar toda a água:
Q_{\text{vap, total}} = m_{w}\,L_{v} = 0{,}10\\ \mathrm{kg}\times 540\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{kg}} = 54\\ \mathrm{kcal}.
  • Comparando: Q_{\text{sobrante}}=1{,}8\\ \mathrm{kcal} \ll 54\\ \mathrm{kcal}. Portanto não há calor suficiente para vaporizar toda a água; apenas uma pequena fração vaporizará.

Passo 7

Calcular a massa de água que vaporiza (vaporização parcial)
  • Fórmula: m_{\text{ev}} = \dfrac{Q_{\text{sobrante}}}{L_{v}}.
  • Substituindo:
m_{\text{ev}} = \frac{1{,}8\\ \mathrm{kcal}}{540\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{kg}} = 0{,}003333\ldots\\ \mathrm{kg}.
  • Em gramas: m_{\text{ev}} \approx 3{,}33\\ \mathrm{g}.
    Interpretação: aproximadamente 3{,}33\\ \mathrm{g} da água transforma-se em vapor; o restante (cerca de 96{,}67\\ \mathrm{g}) permanece líquida.

Passo 8

Temperatura final e justificativa física
  • Quando há coexistência de líquido e vapor em equilíbrio em uma pressão fixa, a temperatura do sistema fica igual à temperatura de ebulição correspondente àquela pressão. No enunciado usamos o valor de L_{v} típico e assumimos a ebulição a 100^\circ\mathrm{C} (procedimento padrão em exercícios deste tipo).
  • Como parte da água vaporiza e parte permanece líquida, a temperatura de equilíbrio do sistema é 100^\circ\mathrm{C}.
  • O cobre, ao ceder calor, também termina a 100^\circ\mathrm{C}.
  • Resumo físico: o cobre esfriou de 150^\circ\mathrm{C} para 100^\circ\mathrm{C}, aquecendo a água de 25^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C} e fornecendo energia extra suficiente apenas para vaporizar cerca de 3{,}33\\ \mathrm{g} de água. O sistema final é uma mistura de água líquida e vapor à 100^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_{\text{final}}=100^\circ\mathrm{C}
Água: ambas as fases (parte líquida e parte vapor); massa vaporizada \approx 0{,}00333\\ \mathrm{kg} (≈ 3{,}33\\ \mathrm{g}).

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