Um anel de cobre tem exatamente 1,00000 cm de diâmetro à temperatura de
. Uma esfera de alumínio tem exatamente 1,00200 cm de diâmetro à
. A esfera é colocada na parte superior do anel, permitindo que os dois corpos adquiram equilíbrio térmico, não havendo perdas de calor para a vizinhança. A esfera atravessa o anel tão logo atinge o equilíbrio térmico.
Calcule a temperatura de equilíbrio entre a esfera e o anel.
Calcule a temperatura de equilíbrio entre a esfera e o anel.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
- Dados:
- Um anel de cobre tem diâmetro exatamente
à temperatura inicial . - Uma esfera de alumínio tem diâmetro exatamente
à temperatura inicial . - Coeficientes de dilatação linear:
-
. -
.
-
- Foram também fornecidos calores específicos (que nos foram dados mas não serão necessários para o cálculo abaixo):
e .
- Um anel de cobre tem diâmetro exatamente
- Pedido:
- Calcular a temperatura de equilíbrio entre a esfera e o anel, sabendo que, ao atingirem o equilíbrio térmico, a esfera atravessa o anel.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho).
- A dilatação térmica linear diz que um comprimento linear
que, à temperatura , vale , passa a valer, à temperatura ,
onde:
-
é o comprimento na temperatura inicial , -
é o coeficiente de dilatação linear do material, -
é a temperatura final. - Aqui usamos essa fórmula para diâmetros (que são comprimentos lineares). Vou aplicar a fórmula ao diâmetro do anel de cobre e ao diâmetro da esfera de alumínio, tomando cada diâmetro no seu respectivo
informado.
Passo 3
Escrever as expressões dos diâmetros em função da temperatura comum
(temperatura de equilíbrio).
- Para o anel de cobre: o diâmetro inicial é
à . Logo, para uma temperatura ,
- Para a esfera de alumínio: o diâmetro foi dado à
como . Para temperatura ,
- Observação: à temperatura de equilíbrio
ambos os corpos terão a mesma temperatura. A esfera atravessa o anel no instante em que os diâmetros ficam iguais. Portanto impomos
Passo 4
Igualar as expressões e montar a equação para
.
Agora substituímos os valores numéricos de
:
Passo 5
Desenvolver a equação passo a passo (contas).
- Expandindo o lado esquerdo:
Calculemos
:
Logo o lado esquerdo é
E
.
Portanto o lado esquerdo vale
Portanto o lado esquerdo vale
- O lado direito é
- Igualando os dois lados:
Passo 6
Isolar
e resolver.
- Subtraindo
de ambos os lados:
- Subtraindo
de ambos os lados:
- Calcule a diferença dos coeficientes:
- Assim
- Finalmente,
Passo 7
Pequena verificação numérica (para ficar mais seguro).
- Calcule
:
- Calcule
:
- Os dois diâmetros coincidem (dentro dos arredondamentos), consistindo com a solução.