Um anel de cobre tem exatamente 1,00000 cm de diâmetro à temperatura de boldsymbol{0}^{\boldsymbol{\circ}} \boldsymbol{C}. Uma esfera de alumínio tem exatamente 1,00200 cm de diâmetro à \mathbf{1 0 0}^{\boldsymbol{\circ}} \boldsymbol{C}. A esfera é colocada na parte superior do anel, permitindo que os dois corpos adquiram equilíbrio térmico, não havendo perdas de calor para a vizinhança. A esfera atravessa o anel tão logo atinge o equilíbrio térmico. \alpha_{\mathrm{Al}}=24 \times 10^{-6} { }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ; \alpha_{\mathrm{Cu}}=1,7 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ; \mathrm{c}_{\mathrm{Al}}=0,91 \mathrm{~J} / \mathrm{gK} ; \mathrm{c}_{\mathrm{Cu}}=0,39 \mathrm{~J} / \mathrm{gK}
Calcule a temperatura de equilíbrio entre a esfera e o anel.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
  • Dados:
    • Um anel de cobre tem diâmetro exatamente \,1,00000\\ \mathrm{cm}\, à temperatura inicial \,0^\circ\mathrm{C}\,.
    • Uma esfera de alumínio tem diâmetro exatamente \,1,00200\\ \mathrm{cm}\, à temperatura inicial \,100^\circ\mathrm{C}\,.
    • Coeficientes de dilatação linear:
      • \alpha_{\mathrm{Al}} = 24\times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
      • \alpha_{\mathrm{Cu}} = 1,7\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • Foram também fornecidos calores específicos (que nos foram dados mas não serão necessários para o cálculo abaixo): \,c_{\mathrm{Al}}=0,91\\ \mathrm{J\,g^{-1}K^{-1}} e \,c_{\mathrm{Cu}}=0,39\\ \mathrm{J\,g^{-1}K^{-1}}.
  • Pedido:
    • Calcular a temperatura de equilíbrio entre a esfera e o anel, sabendo que, ao atingirem o equilíbrio térmico, a esfera atravessa o anel.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho).
  • A dilatação térmica linear diz que um comprimento linear L que, à temperatura \,T_0, vale L_0, passa a valer, à temperatura T,
L(T)=L_0\big[1+\alpha\,(T-T_0)\big],
onde:
  • \,L_0 é o comprimento na temperatura inicial \,T_0,
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material,
  • \,T é a temperatura final.
  • Aqui usamos essa fórmula para diâmetros (que são comprimentos lineares). Vou aplicar a fórmula ao diâmetro do anel de cobre e ao diâmetro da esfera de alumínio, tomando cada diâmetro no seu respectivo T_0 informado.

Passo 3

Escrever as expressões dos diâmetros em função da temperatura comum T (temperatura de equilíbrio).
  • Para o anel de cobre: o diâmetro inicial é \,D_{\mathrm{Cu},0}=1,00000\\ \mathrm{cm} à \,T_{0,\mathrm{Cu}}=0^\circ\mathrm{C}. Logo, para uma temperatura T,
D_{\mathrm{Cu}}(T)=1,00000\big[1+\alpha_{\mathrm{Cu}}(T-0)\big].
  • Para a esfera de alumínio: o diâmetro foi dado à \,T_{0,\mathrm{Al}}=100^\circ\mathrm{C} como \,D_{\mathrm{Al},100}=1,00200\\ \mathrm{cm}. Para temperatura T,
D_{\mathrm{Al}}(T)=1,00200\big[1+\alpha_{\mathrm{Al}}(T-100)\big].
  • Observação: à temperatura de equilíbrio T ambos os corpos terão a mesma temperatura. A esfera atravessa o anel no instante em que os diâmetros ficam iguais. Portanto impomos
D_{\mathrm{Al}}(T)=D_{\mathrm{Cu}}(T).

Passo 4

Igualar as expressões e montar a equação para T.
1,00200\big[1+\alpha_{\mathrm{Al}}(T-100)\big]=1,00000\big[1+\alpha_{\mathrm{Cu}}T\big].
Agora substituímos os valores numéricos de \alpha:
1,00200\big[1+(24\times 10^{-6})(T-100)\big]=1,00000\big[1+(1{,}7\times 10^{-5})T\big].

Passo 5

Desenvolver a equação passo a passo (contas).
  • Expandindo o lado esquerdo:
1,00200 + 1,00200\cdot 24\times 10^{-6}\,(T-100).
Calculemos 1,00200\cdot 24\times 10^{-6}:
1,00200\cdot 24\times 10^{-6}=24{,}048\times 10^{-6}=2{,}4048\times 10^{-5}.
Logo o lado esquerdo é
1,00200 + 2{,}4048\times 10^{-5}\,T - 2{,}4048\times 10^{-5}\cdot 100.
E 2{,}4048\times 10^{-5}\cdot 100 = 2{,}4048\times 10^{-3}=0{,}0024048.
Portanto o lado esquerdo vale
1,00200 - 0{,}0024048 + 2{,}4048\times 10^{-5}\,T = 0{,}9995952 + 2{,}4048\times 10^{-5}\,T.
  • O lado direito é
1{,}00000 + 1{,}7\times 10^{-5}\,T.
  • Igualando os dois lados:
0{,}9995952 + 2{,}4048\times 10^{-5}\,T = 1{,}00000 + 1{,}7\times 10^{-5}\,T.

Passo 6

Isolar T e resolver.
  • Subtraindo 0{,}9995952 de ambos os lados:
2{,}4048\times 10^{-5}\,T = 0{,}0004048 + 1{,}7\times 10^{-5}\,T.
  • Subtraindo 1{,}7\times 10^{-5}\,T de ambos os lados:
(2{,}4048\times 10^{-5} - 1{,}7\times 10^{-5})\,T = 0{,}0004048.
  • Calcule a diferença dos coeficientes:
2{,}4048\times 10^{-5} - 1{,}7\times 10^{-5} = 0{,}7048\times 10^{-5} = 7{,}048\times 10^{-6}.
  • Assim
7{,}048\times 10^{-6}\,T = 0{,}0004048.
  • Finalmente,
T=\frac{0{,}0004048}{7{,}048\times 10^{-6}} \approx 57{,}43^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Pequena verificação numérica (para ficar mais seguro).
  • Calcule D_{\mathrm{Cu}}(57{,}43^\circ\mathrm{C}):
D_{\mathrm{Cu}}=1{,}00000\big[1+1{,}7\times 10^{-5}\cdot 57{,}43\big]\approx 1{,}00000\big[1+0{,}0009763\big]\approx 1{,}0009763\\ \mathrm{cm}.
  • Calcule D_{\mathrm{Al}}(57{,}43^\circ\mathrm{C}):
D_{\mathrm{Al}}=1{,}00200\big[1+24\times 10^{-6}(57{,}43-100)\big]
=1{,}00200\big[1+24\times 10^{-6}(-42{,}57)\big] =1{,}00200\big[1-0{,}0010218\big]\approx 1{,}00200\cdot 0{,}9989782\approx 1{,}0009763\\ \mathrm{cm}.
  • Os dois diâmetros coincidem (dentro dos arredondamentos), consistindo com a solução.

Resposta

57{,}43^\circ\mathrm{C}

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