Durante a medição da massa de um peso padrão de referência com uma balança digital, o operador percebe que o visor oscila constantemente entre valores próximos (por exemplo: 100,02 \mathrm{~g}, 100,04 \mathrm{~g}, 100,01 \mathrm{~g} ). Além disso, a balança está posicionada próxima a uma janela aberta, com corrente de ar constante.
a) Liste três possíveis fontes de erro nesse cenário e classifique cada uma como erro sistemático ou erro aleatório.
b) Determine o desvio padrão da variável de influência devido a flutuação das leituras durante a medição
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Listar três possíveis fontes de erro no cenário descrito e classificar cada uma como erro sistemático ou erro aleatório.
(b) Determinar o desvio padrão da variável de influência causada pela flutuação das leituras durante a medição, usando como exemplo as leituras 100{,}02\\ \mathrm{g}, 100{,}04\\ \mathrm{g} e 100{,}01\\ \mathrm{g}.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
As leituras oscilam entre valores próximos: 100{,}02\\ \mathrm{g}, 100{,}04\\ \mathrm{g}, 100{,}01\\ \mathrm{g} (esses são os dados que usaremos para calcular a variabilidade).
A balança está próxima a uma janela aberta com corrente de ar constante (isso sugere influência externa que pode causar variação nas leituras).
Passo 2
Vamos entender, de forma simples, o que são os dois tipos de erro para classificar as fontes:
Erro sistemático: é um viés constante ou recorrente que desloca todas as medições para um lado (por exemplo, sempre somar +0{,}05\\ \mathrm{g}). Ele não desaparece com muitas repetições; precisa ser identificado e corrigido (calibração, compensação).
Erro aleatório: é a variação imprevisível entre medições (flutua para cima e para baixo). Pode ser reduzido fazendo mais medições e calculando a média, mas não eliminado sem controlar as causas.
Três possíveis fontes de erro no cenário e sua classificação (explicação curta e intuitiva):
Corrente de ar (a balança perto da janela): classificado como erro aleatório.
Por quê: a corrente provoca pequenas forças variáveis sobre o prato, fazendo as leituras oscilar para mais ou para menos de forma imprevisível. Essas oscilações mudam de instante a instante, logo caracterizam ruído aleatório.
Balança mal calibrada (desvio do zero ou fator de calibração incorreto): classificado como erro sistemático.
Por quê: se a balança não estiver devidamente calibrada, todas as leituras terão um deslocamento constante (por exemplo sempre +0{,}05\\ \mathrm{g}), independentemente da variabilidade instantânea.
Resolução do visor / arredondamento dos dígitos (passo do display, por ex. 0,01 g) ou ruído eletrônico do sensor: classificado como erro aleatório predominante (mas com componente sistemático se houver truncamento constante).
Por quê: o fato do visor mostrar apenas dígitos discretos (por exemplo, centésimos de grama) introduz pequenas variações dentro de um intervalo de meia-unidade do dígito; isso costuma aparecer como ruído distribuído em torno do valor verdadeiro. Se houver um arredondamento sempre para cima, vira sistemático; normalmente é aleatório.
(Aqui escolhi essas três porque são comuns nesse cenário: corrente de ar — claramente aleatório; calibração — claramente sistemático; resolução/ruído — normalmente aleatório.)
Passo 3
Agora vamos ao cálculo do desvio padrão a partir das leituras dadas. Primeiro explico a fórmula e o porquê usar ela.
Queremos medir a dispersão (quão espalhadas estão as leituras) — o desvio padrão é a medida comum para isso. Como temos um pequeno conjunto de leituras repetidas (uma amostra de n medições) e usamos essas leituras para estimar a variabilidade, usamos o desvio padrão amostral.
A fórmula do desvio padrão amostral s é:
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i - \overline{x}\bigr)^2}
onde:
n é o número de leituras (aqui n=3);
x_i são as leituras individuais;
\overline{x} é a média aritmética das leituras, dada por
\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Explicando as variáveis: \overline{x} representa o melhor palpite para o valor verdadeiro com base nas leituras; cada termo (x_i-\overline{x})^2 mede o quão longe cada leitura está da média; somando e dividindo por n-1 obtemos a variância amostral, cuja raiz dá o desvio padrão.
Passo 4
Calculemos a média \overline{x} passo a passo usando as leituras:
s = \sqrt{0{,}000233333\ldots}\\ \mathrm{g} \approx 0{,}015275\\ \mathrm{g}.
Arredondando de forma prática para apresentação, podemos escrever
s \approx 0{,}0153\\ \mathrm{g}.
Interpretação rápida: esse valor indica que as leituras individuais tipicamente se afastam da média cerca de 0{,}0153\\ \mathrm{g} — isto é a medida da flutuação (erro aleatório) observada nas três leituras. Se você quiser a incerteza da média (ou seja, quanto a média das n leituras está incerta), usa-se o erro padrão da média:
o que mostra como tirar a média de várias leituras reduz a incerteza.
Resposta
(a) Três possíveis fontes de erro e classificação: Corrente de ar perto da balança — erro aleatório; Balança mal calibrada (offset/fator errado) — erro sistemático; Resolução do visor / ruído eletrônico (arredondamento dos dígitos) — erro aleatório.
(b) s \approx 0{,}0153\\ \mathrm{g}