Durante a medição da massa de um peso padrão de referência com uma balança digital, o operador percebe que o visor oscila constantemente entre valores próximos (por exemplo: 100,02 \mathrm{~g}, 100,04 \mathrm{~g}, 100,01 \mathrm{~g} ). Além disso, a balança está posicionada próxima a uma janela aberta, com corrente de ar constante.
a) Liste três possíveis fontes de erro nesse cenário e classifique cada uma como erro sistemático ou erro aleatório.
b) Determine o desvio padrão da variável de influência devido a flutuação das leituras durante a medição

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Listar três possíveis fontes de erro no cenário descrito e classificar cada uma como erro sistemático ou erro aleatório.
  2. (b) Determinar o desvio padrão da variável de influência causada pela flutuação das leituras durante a medição, usando como exemplo as leituras 100{,}02\\ \mathrm{g}, 100{,}04\\ \mathrm{g} e 100{,}01\\ \mathrm{g}.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • As leituras oscilam entre valores próximos: 100{,}02\\ \mathrm{g}, 100{,}04\\ \mathrm{g}, 100{,}01\\ \mathrm{g} (esses são os dados que usaremos para calcular a variabilidade).
  • A balança está próxima a uma janela aberta com corrente de ar constante (isso sugere influência externa que pode causar variação nas leituras).

Passo 2

Vamos entender, de forma simples, o que são os dois tipos de erro para classificar as fontes:
  • Erro sistemático: é um viés constante ou recorrente que desloca todas as medições para um lado (por exemplo, sempre somar +0{,}05\\ \mathrm{g}). Ele não desaparece com muitas repetições; precisa ser identificado e corrigido (calibração, compensação).
  • Erro aleatório: é a variação imprevisível entre medições (flutua para cima e para baixo). Pode ser reduzido fazendo mais medições e calculando a média, mas não eliminado sem controlar as causas.
Três possíveis fontes de erro no cenário e sua classificação (explicação curta e intuitiva):
  1. Corrente de ar (a balança perto da janela): classificado como erro aleatório.
    • Por quê: a corrente provoca pequenas forças variáveis sobre o prato, fazendo as leituras oscilar para mais ou para menos de forma imprevisível. Essas oscilações mudam de instante a instante, logo caracterizam ruído aleatório.
  2. Balança mal calibrada (desvio do zero ou fator de calibração incorreto): classificado como erro sistemático.
    • Por quê: se a balança não estiver devidamente calibrada, todas as leituras terão um deslocamento constante (por exemplo sempre +0{,}05\\ \mathrm{g}), independentemente da variabilidade instantânea.
  3. Resolução do visor / arredondamento dos dígitos (passo do display, por ex. 0,01 g) ou ruído eletrônico do sensor: classificado como erro aleatório predominante (mas com componente sistemático se houver truncamento constante).
    • Por quê: o fato do visor mostrar apenas dígitos discretos (por exemplo, centésimos de grama) introduz pequenas variações dentro de um intervalo de meia-unidade do dígito; isso costuma aparecer como ruído distribuído em torno do valor verdadeiro. Se houver um arredondamento sempre para cima, vira sistemático; normalmente é aleatório.
(Aqui escolhi essas três porque são comuns nesse cenário: corrente de ar — claramente aleatório; calibração — claramente sistemático; resolução/ruído — normalmente aleatório.)

Passo 3

Agora vamos ao cálculo do desvio padrão a partir das leituras dadas. Primeiro explico a fórmula e o porquê usar ela.
Queremos medir a dispersão (quão espalhadas estão as leituras) — o desvio padrão é a medida comum para isso. Como temos um pequeno conjunto de leituras repetidas (uma amostra de n medições) e usamos essas leituras para estimar a variabilidade, usamos o desvio padrão amostral.
A fórmula do desvio padrão amostral s é:
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_i - \overline{x}\bigr)^2}
onde:
  • n é o número de leituras (aqui n=3);
  • x_i são as leituras individuais;
  • \overline{x} é a média aritmética das leituras, dada por
\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Explicando as variáveis: \overline{x} representa o melhor palpite para o valor verdadeiro com base nas leituras; cada termo (x_i-\overline{x})^2 mede o quão longe cada leitura está da média; somando e dividindo por n-1 obtemos a variância amostral, cuja raiz dá o desvio padrão.

Passo 4

Calculemos a média \overline{x} passo a passo usando as leituras:
x_1 = 100{,}02\\ \mathrm{g},\qquad x_2 = 100{,}04\\ \mathrm{g},\qquad x_3 = 100{,}01\\ \mathrm{g}.
A soma é
x_1 + x_2 + x_3 = 100{,}02 + 100{,}04 + 100{,}01 = 300{,}07\\ \mathrm{g}.
Portanto a média é
\overline{x} = \frac{300{,}07}{3} = 100{,}023\overline{3}\\ \mathrm{g}.
Para cálculos numéricos seguintes podemos usar \overline{x}\approx 100{,}02333\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Calculemos os desvios de cada leitura em relação à média e os quadrados desses desvios.
Desvios:
x_1-\overline{x} = 100{,}02 - 100{,}02333\ldots = -0{,}00333\ldots\\ \mathrm{g}
x_2-\overline{x} = 100{,}04 - 100{,}02333\ldots = +0{,}01666\ldots\\ \mathrm{g}
x_3-\overline{x} = 100{,}01 - 100{,}02333\ldots = -0{,}01333\ldots\\ \mathrm{g}
Quadrados dos desvios (mostro também valores fracionários exatos quando possível):
(x_1-\overline{x})^2 \approx ( -0{,}003333\ldots )^2 = 0{,}000011111\ldots\\ \mathrm{g}^2 \quad\text{(isto é }(1/300)^2=1/90000\text{)}é
(x_2-\overline{x})^2 \approx ( +0{,}016666\ldots )^2 = 0{,}000277777\ldots\\ \mathrm{g}^2 \quad\text{(isto é }(1/60)^2=1/3600\text{)}é
(x_3-\overline{x})^2 \approx ( -0{,}013333\ldots )^2 = 0{,}000177777\ldots\\ \mathrm{g}^2 \quad\text{(isto é }(1/75)^2=1/5625\text{)}é

Passo 6

Somando os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{3} (x_i-\overline{x})^2 \approx 0{,}000011111\ldots + 0{,}000277777\ldots + 0{,}000177777\ldots = 0{,}000466666\ldots\\ \mathrm{g}^2.
A variância amostral é
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2 = \frac{0{,}000466666\ldots}{3-1} = \frac{0{,}000466666\ldots}{2} = 0{,}000233333\ldots\\ \mathrm{g}^2.

Passo 7

O desvio padrão amostral é a raiz da variância:
s = \sqrt{0{,}000233333\ldots}\\ \mathrm{g} \approx 0{,}015275\\ \mathrm{g}.
Arredondando de forma prática para apresentação, podemos escrever
s \approx 0{,}0153\\ \mathrm{g}.
Interpretação rápida: esse valor indica que as leituras individuais tipicamente se afastam da média cerca de 0{,}0153\\ \mathrm{g} — isto é a medida da flutuação (erro aleatório) observada nas três leituras. Se você quiser a incerteza da média (ou seja, quanto a média das n leituras está incerta), usa-se o erro padrão da média:
\text{erro padrão} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}015275\\ \mathrm{g}}{\sqrt{3}} \approx 0{,}0088\\ \mathrm{g},ã
o que mostra como tirar a média de várias leituras reduz a incerteza.

Resposta

(a) Três possíveis fontes de erro e classificação: Corrente de ar perto da balança — erro aleatório; Balança mal calibrada (offset/fator errado) — erro sistemático; Resolução do visor / ruído eletrônico (arredondamento dos dígitos) — erro aleatório.
(b) s \approx 0{,}0153\\ \mathrm{g}

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