Durante um passeio em seu barco, você navega 2 km para o leste, 4 km para o sudeste e uma distância adicional em uma direção desconhecida. Sua posição final é 6 km diretamente a leste do ponto de partida. Encontre o módulo e a orientação do terceiro trecho de sua viagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um passeio de barco onde você navegou 2 km para o leste, depois 4 km para o sudeste e uma última parte em uma direção que não sabemos. No final, você está 6 km direto para o leste do ponto de partida. Vamos usar vetores e um pouco de trigonometria para descobrir qual foi a distância e a direção do terceiro trecho da viagem.
Passo 2
Primeiro, vamos representar cada trecho da viagem como vetores. O primeiro trecho é simples: 2 km para o leste. Em coordenadas, isso significa que ele tem uma componente x de 2 km e y de 0 km.
Passo 3
O segundo trecho é 4 km para o sudeste. O sudeste é a direção que está exatamente entre o sul e o leste, ou seja, a 45 graus em relação ao leste. Para dividir esse vetor nas componentes x e y, usamos o cosseno e o seno de 45 graus.
Como o sudeste está para o leste e sul, a componente x será positiva e a y negativa.
Sabendo que
, temos:
Passo 4
Agora, somamos os vetores
e
para encontrar a posição após os dois primeiros trechos.
Passo 5
Vamos chamar o terceiro trecho de
. Sabemos que a posição final é 6 km para o leste, então a soma dos três vetores deve ser:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo as equações para encontrar
e
:
Para
:
Para
:
Então, o vetor
é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o módulo (a distância) e a direção desse vetor
.
O módulo é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 8
Para achar a direção, vamos calcular o ângulo
que
forma com o leste. Usamos a tangente:
Simplificando:
Calculando o ângulo:
Então, a direção de
é aproximadamente 67,5° ao norte do leste.
Resposta
O terceiro trecho da viagem tem um módulo de aproximadamente 3,06 km e está orientado a 67,5° ao norte do leste.