Durante o planejamento de uma campanha de perfuração, as profundidades em que se encontra o aquífero confinado em uma determinada bacia sedimentar seguem uma distribuição normal com média 1200 m e desvio padrão 150 m .
a) Qual é a profundidade máxima em que se pode esperar encontrar o aquífero com 90 \% de certeza?
b) Se forem realizadas 50 perfurações, quantas delas, em média, devem atingir o aquífero a profundidades entre 1050 m e 1350 m ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não vou resolver nada aqui, só organizar os dados).
  • Informação sobre a distribuição das profundidades: a profundidade X segue uma distribuição normal com média \mu=1200 m e desvio padrão \sigma=150 m. Ou seja,
X \sim \mathcal{N}\bigl(\mu=1200,\\ \sigma=150\bigr).
  • Perguntas:
    a) Qual é a profundidade máxima em que se pode esperar encontrar o aquífero com 90\% de certeza?
    b) Se forem realizadas 50 perfurações, quantas delas, em média, devem atingir o aquífero a profundidades entre 1050 m e 1350 m?

Passo 2

Explicação didática da ideia que vamos usar (passo a passo conceitual).
  • A distribuição normal tem uma curva em que a probabilidade de X estar em um intervalo é dada pela função de distribuição acumulada (CDF). Não precisamos da fórmula da densidade para fazer estas perguntas: usamos a padronização.
  • Padronização: transformar X numa variável normal padrão Z (média 0, desvio padrão 1) com a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a profundidade que queremos estudar,
  • \mu é a média ( 1200 m),
  • \sigma é o desvio padrão ( 150 m).
  • Depois de padronizar, usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) para obter probabilidades ou quantis. Por exemplo, se queremos P(X\le x)=p, transformamos para P\!\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=p e daí encontramos o quantil z_p tal que P(Z\le z_p)=p. Então
x=\mu+z_p\,\sigma.
  • Para contar quantas perfurações, em média, atingem uma faixa, interpretamos cada perfuração como um ensaio independente com probabilidade p de cair na faixa. Então o número esperado de sucessos é n\cdot p, onde n é o número de perfurações.

Passo 3

Resolvendo a parte (a) — montar a equação do quantil e padronizar.
  • Queremos a profundidade x_{0,90} tal que
P(X\le x_{0,90})=0,90.
  • Padronizando:
P\!\left(Z\le\frac{x_{0,90}-\mu}{\sigma}\right)=0,90.
  • O quantil da normal padrão correspondente a 0,90 é aproximadamente z_{0,90}\approx 1,2816. (Isso vem de tabela da normal padrão ou função inversa da normal; a tabela dá o valor de z tal que P(Z\le z)=0,90.)

Passo 4

Calcular explicitamente x_{0,90} usando a fórmula do quantil.
  • Usando
x_{0,90}=\mu+z_{0,90}\,\sigma,
substituímos \mu=1200, \sigma=150 e z_{0,90}\approx 1,2816:
x_{0,90}=1200 + 1,2816\cdot150.
  • Calcular 1,2816\cdot150:
1,2816\cdot150 = 192,24.
  • Somando:
x_{0,90}=1200 + 192,24 = 1392,24\\ \text{m}.
  • Interpretação prática: com 90\% de certeza espera-se encontrar o aquífero a profundidades menores ou iguais a cerca de 1392,24 m. Na prática de campo costuma arredondar para o metro mais próximo: 1392 m.

Passo 5

Resolvendo a parte (b) — probabilidade de uma perfuração cair entre 1050 m e 1350 m.
  • Calculamos
p = P(1050 \le X \le 1350).
  • Padronizando os extremos:
z_{\text{inf}}=\frac{1050-\mu}{\sigma}=\frac{1050-1200}{150}=\frac{-150}{150}=-1,
z_{\text{sup}}=\frac{1350-\mu}{\sigma}=\frac{1350-1200}{150}=\frac{150}{150}=1.
  • Então
p = P(-1 \le Z \le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1).
  • Valores da normal padrão: \Phi(1)\approx 0,8413447 e \Phi(-1)=1-\Phi(1)\approx 0,1586553. Portanto
p \approx 0,8413447 - 0,1586553 = 0,6826894.
  • Interpretação: cerca de 68,26894\% das perfurações, individualmente, atingirão o aquífero nessa faixa de profundidade.

Passo 6

Converter a probabilidade em número esperado de perfurações que atingem a faixa em 50 tentativas.
  • Se n=50 perfurações independentes e a probabilidade de sucesso (atingir a faixa) é p\approx 0,6826894, o número esperado de sucessos é
\mathbb{E}[\text{sucessos}] = n\cdot p = 50\cdot 0,6826894.
  • Calcular:
50\cdot 0,6826894 = 34,13447.
  • Interpretação prática: em média espera-se que aproximadamente 34 perfurações (arredondando para o inteiro mais próximo) atinjam o aquífero entre 1050 m e 1350 m.

Passo 7

Resumo final curto e um incentivo rápido.
  • Resultado da (a): profundidade máxima com 90\% de certeza cerca de 1392,24 m (usar 1392 m se preferir metro inteiro).
  • Resultado da (b): em 50 perfurações, em média aproximadamente 34 delas atingirão o aquífero entre 1050 m e 1350 m.
  • Você está indo bem — esses passos (padronizar, usar tabela/inversa e multiplicar por n) são as ferramentas que mais caem em prova para esse tipo de questão. Pratique mais duas ou três similares e fica tranquilo.

Resposta

(a) x_{0,90}\approx 1392,24\\ \text{m}
(b) aproximadamente 34,13 perfurações (em média), ou cerca de 34 perfurações.

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