Durante o planejamento de uma campanha de perfuração, as profundidades em que se encontra o aquífero confinado em uma determinada bacia sedimentar seguem uma distribuição normal com média 1200 m e desvio padrão 150 m .
a) Qual é a profundidade máxima em que se pode esperar encontrar o aquífero com
de certeza?
b) Se forem realizadas 50 perfurações, quantas delas, em média, devem atingir o aquífero a profundidades entre 1050 m e 1350 m ?
a) Qual é a profundidade máxima em que se pode esperar encontrar o aquífero com
b) Se forem realizadas 50 perfurações, quantas delas, em média, devem atingir o aquífero a profundidades entre 1050 m e 1350 m ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não vou resolver nada aqui, só organizar os dados).
- Informação sobre a distribuição das profundidades: a profundidade
segue uma distribuição normal com média m e desvio padrão m. Ou seja,
- Perguntas:
a) Qual é a profundidade máxima em que se pode esperar encontrar o aquífero comde certeza?
b) Se forem realizadasperfurações, quantas delas, em média, devem atingir o aquífero a profundidades entre m e m?
Passo 2
Explicação didática da ideia que vamos usar (passo a passo conceitual).
- A distribuição normal tem uma curva em que a probabilidade de
estar em um intervalo é dada pela função de distribuição acumulada (CDF). Não precisamos da fórmula da densidade para fazer estas perguntas: usamos a padronização. - Padronização: transformar
numa variável normal padrão (média , desvio padrão ) com a fórmula
Aqui:
-
é a profundidade que queremos estudar, -
é a média ( m), -
é o desvio padrão ( m). - Depois de padronizar, usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) para obter probabilidades ou quantis. Por exemplo, se queremos
, transformamos para e daí encontramos o quantil tal que . Então
- Para contar quantas perfurações, em média, atingem uma faixa, interpretamos cada perfuração como um ensaio independente com probabilidade
de cair na faixa. Então o número esperado de sucessos é , onde é o número de perfurações.
Passo 3
Resolvendo a parte (a) — montar a equação do quantil e padronizar.
- Queremos a profundidade
tal que
- Padronizando:
- O quantil da normal padrão correspondente a
é aproximadamente . (Isso vem de tabela da normal padrão ou função inversa da normal; a tabela dá o valor de tal que .)
Passo 4
Calcular explicitamente
usando a fórmula do quantil.
- Usando
substituímos
,
e
:
- Calcular
:
- Somando:
- Interpretação prática: com
de certeza espera-se encontrar o aquífero a profundidades menores ou iguais a cerca de m. Na prática de campo costuma arredondar para o metro mais próximo: m.
Passo 5
Resolvendo a parte (b) — probabilidade de uma perfuração cair entre
m e
m.
- Calculamos
- Padronizando os extremos:
- Então
- Valores da normal padrão:
e . Portanto
- Interpretação: cerca de
das perfurações, individualmente, atingirão o aquífero nessa faixa de profundidade.
Passo 6
Converter a probabilidade em número esperado de perfurações que atingem a faixa em
tentativas.
- Se
perfurações independentes e a probabilidade de sucesso (atingir a faixa) é , o número esperado de sucessos é
- Calcular:
- Interpretação prática: em média espera-se que aproximadamente
perfurações (arredondando para o inteiro mais próximo) atinjam o aquífero entre m e m.
Passo 7
Resumo final curto e um incentivo rápido.
- Resultado da (a): profundidade máxima com
de certeza cerca de m (usar m se preferir metro inteiro). - Resultado da (b): em
perfurações, em média aproximadamente delas atingirão o aquífero entre m e m. - Você está indo bem — esses passos (padronizar, usar tabela/inversa e multiplicar por
) são as ferramentas que mais caem em prova para esse tipo de questão. Pratique mais duas ou três similares e fica tranquilo.
Resposta
(a)
(b) aproximadamente perfurações (em média), ou cerca de
perfurações.
(b) aproximadamente