Sabe-se que um líquido particular contem certas bactérias a razão de 4 bactérias por cm 3 . Uma amostra de
desse líquido é tomado.
Qual é a probabilidade que a amostra não contenha nenhuma bactéria?
Qual é a probabilidade que a amostra não contenha nenhuma bactéria?
Passo 1
O enunciado e os dados fornecidos:
- Dado: a concentração média de bactérias é de
bactérias por . - A amostra retirada tem volume
. - Pergunta: Qual é a probabilidade de que a amostra não contenha nenhuma bactéria?
Passo 2
Como modelar o número de bactérias na amostra (explicação didática):
- Estamos contando o número de ocorrências (bactérias) em uma região de volume fixo. Quando as ocorrências são independentes, ocorrem com taxa média constante por unidade de volume, e não há “aglomerações” estruturais, o modelo apropriado é o processo de Poisson.
- A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de obter
ocorrências em um intervalo (ou volume) quando a média esperada é . É usada quando os eventos são discretos, independentes e a taxa média é conhecida e constante. - Propriedades importantes da Poisson:
- O parâmetro
é a média (esperança) e também a variância: e . - Eventos raros por unidade de medida são um caso típico, mas a Poisson vale em geral sob as hipóteses mencionadas.
- O parâmetro
Passo 3
Apresentando a fórmula e explicando cada símbolo:
- Seja
a variável aleatória que conta o número de bactérias na amostra de . - Para
com distribuição de Poisson de parâmetro , a probabilidade de observar exatamente bactérias é dada por
- Explicação dos símbolos:
-
é a média esperada de ocorrências no intervalo considerado (aqui, no volume da amostra). -
é o número de ocorrências que queremos a probabilidade (aqui ). -
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente ). -
é o fatorial de (por definição ).
-
Passo 4
Determinar
para o problema e aplicar a fórmula:
- Peguei do enunciado que a média é
bactérias por . Como a amostra tem exatamente , o parâmetro é . - Queremos a probabilidade de não haver nenhuma bactéria, isto é
. Aplicando a fórmula,
- Substituindo
,
Passo 5
Cálculo numérico e interpretação:
- Aproximando
,
- Interpretação amigável: a probabilidade de que um centímetro cúbico desse líquido não contenha nenhuma bactéria é cerca de
. Ou seja, é bem baixa — faz sentido porque a média é bactérias por cm .
Passo 6
Exemplo rápido para fixar a ideia:
- Se a taxa fosse
bactéria por cm , a probabilidade de zero bactérias seria (cerca de ). - Quanto maior
, menor a probabilidade de obter zero ocorrências; isso ajuda a entender a dependência intuitiva entre média e chance de ausência.