Sabe-se que um líquido particular contem certas bactérias a razão de 4 bactérias por cm 3 . Uma amostra de 1 c m 3 desse líquido é tomado.
Qual é a probabilidade que a amostra não contenha nenhuma bactéria?

Passo 1

O enunciado e os dados fornecidos:
  • Dado: a concentração média de bactérias é de 4 bactérias por 1\\ \text{cm}^3.
  • A amostra retirada tem volume 1\\ \text{cm}^3.
  • Pergunta: Qual é a probabilidade de que a amostra não contenha nenhuma bactéria?

Passo 2

Como modelar o número de bactérias na amostra (explicação didática):
  • Estamos contando o número de ocorrências (bactérias) em uma região de volume fixo. Quando as ocorrências são independentes, ocorrem com taxa média constante por unidade de volume, e não há “aglomerações” estruturais, o modelo apropriado é o processo de Poisson.
  • A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de obter k ocorrências em um intervalo (ou volume) quando a média esperada é \lambda. É usada quando os eventos são discretos, independentes e a taxa média é conhecida e constante.
  • Propriedades importantes da Poisson:
    • O parâmetro \lambda é a média (esperança) e também a variância: \mathbb{E}[X]=\lambda e \mathrm{Var}(X)=\lambda.
    • Eventos raros por unidade de medida são um caso típico, mas a Poisson vale em geral sob as hipóteses mencionadas.

Passo 3

Apresentando a fórmula e explicando cada símbolo:
  • Seja X a variável aleatória que conta o número de bactérias na amostra de 1\\ \text{cm}^3.
  • Para X com distribuição de Poisson de parâmetro \lambda, a probabilidade de observar exatamente k bactérias é dada por
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!}.
  • Explicação dos símbolos:
    • \lambda é a média esperada de ocorrências no intervalo considerado (aqui, no volume da amostra).
    • k é o número de ocorrências que queremos a probabilidade (aqui k=0).
    • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2{,}71828\ldots).
    • k! é o fatorial de k (por definição 0!=1).

Passo 4

Determinar \lambda para o problema e aplicar a fórmula:
  • Peguei do enunciado que a média é 4 bactérias por 1\\ \text{cm}^3. Como a amostra tem exatamente 1\\ \text{cm}^3, o parâmetro é \lambda=4.
  • Queremos a probabilidade de não haver nenhuma bactéria, isto é k=0. Aplicando a fórmula,
P(X=0)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{0}}{0!}=e^{-\lambda}\cdot\frac{1}{1}=e^{-\lambda}.
  • Substituindo \lambda=4,
P(X=0)=e^{-4}.

Passo 5

Cálculo numérico e interpretação:
  • Aproximando e^{-4},
e^{-4}\approx0{,}0183.
  • Interpretação amigável: a probabilidade de que um centímetro cúbico desse líquido não contenha nenhuma bactéria é cerca de 1{,}83\%. Ou seja, é bem baixa — faz sentido porque a média é 4 bactérias por cm ^3.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar a ideia:
  • Se a taxa fosse \lambda=1 bactéria por cm ^3, a probabilidade de zero bactérias seria e^{-1}\approx0{,}3679 (cerca de 36{,}8\%).
  • Quanto maior \lambda, menor a probabilidade de obter zero ocorrências; isso ajuda a entender a dependência intuitiva entre média e chance de ausência.

Resposta

e^{-4}\approx0{,}0183

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