Um geólogo está analisando a densidade de amostras de uma formação rochosa específica. Sabe-se que a densidade das amostras segue uma distribuição normal com média 2,65 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e desvio padrão 0,10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.
a) Qual é a probabilidade de uma amostra selecionada aleatoriamente ter densidade maior que 2,80 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} ?
b) Qual é o intervalo simétrico ao redor da média que contém aproximadamente 95 \% das densidades das amostras?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informações fornecidas:
    • A densidade X das amostras segue uma distribuição normal com média \mu=2,65\\ \mathrm{g/cm^3} e desvio padrão \sigma=0,10\\ \mathrm{g/cm^3}.
    • Ou seja, X\sim N\big(\mu=2,65,\\ \sigma^2=(0,10)^2\big).
  • Perguntas:
    (a) Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória ter densidade maior que 2,80\\ \mathrm{g/cm^3}?
    (b) Qual é o intervalo simétrico em torno da média que contém aproximadamente 95\% das densidades?

Passo 2

Ideia geral e ferramenta que vamos usar (sem dizer o nome difícil ainda): quando uma variável é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, é conveniente “padronizar” para transformar qualquer valor em uma escala padrão sem unidades. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z é a variável padronizada (sem unidades). Depois de padronizar, usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) para obter probabilidades.
Explicando cada símbolo:
  • X é a densidade que interessa (em \mathrm{g/cm^3}).
  • \mu é a média dada ( 2,65).
  • \sigma é o desvio padrão ( 0,10).
  • Z é a nova variável sem unidade, que segue a normal padrão (média 0 e desvio 1), então podemos ler probabilidades nela.

Passo 3

Resolvendo (a). Queremos P\big(X>2,80\big).
  1. Padronizar o valor 2,80 usando a fórmula:
z=\frac{2,80-2,65}{0,10}=\frac{0,15}{0,10}=1,5.
  1. A probabilidade pedida vira
P\big(X>2,80\big)=P\big(Z>1,5\big),
onde Z é a normal padrão.
  1. Usando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora), a função de distribuição acumulada \Phi(z)=P(Z\le z) vale aproximadamente \Phi(1,5)=0,9332. Então
P(Z>1,5)=1-\Phi(1,5)=1-0,9332=0,0668.
  1. Interpretação final: a probabilidade de uma amostra ter densidade maior que 2,80\\ \mathrm{g/cm^3} é aproximadamente 0,0668, ou seja cerca de 6,68\%.
Dica prática para prova: se só souber a regra “empírica” 68\%-95\%-99{,}7\%, um z=1,5 está entre 1\sigma e 2\sigma, então a probabilidade à direita é pequena (alguns por cento); a tabela dá o número exato que usamos acima.

Passo 4

Resolvendo (b). Queremos o intervalo simétrico em torno da média que contém aproximadamente 95\% das observações.
  1. Para um intervalo central com probabilidade 95\% escolhemos um número crítico z_{*} tal que
P\big(-z_{*}\le Z\le z_{*}\big)=0,95.
Isso deixa 0,05 de probabilidade total fora do intervalo, ou seja 0,025 em cada cauda. Então precisamos do quantil z_{0,975} da normal padrão (o valor com área 0,975 à esquerda).
  1. Da tabela da normal padrão sabe-se (ou lembra-se) que
z_{0,975}\approx 1,96.
  1. O meio do intervalo (a “margem”) em unidades de X é
\text{margem}=z_{0,975}\cdot\sigma=1,96\cdot 0,10=0,196.
  1. Portanto o intervalo simétrico em torno da média é
\mu\pm \text{margem}=2,65\pm 0,196,
ou seja
\big[\,2,65-0,196\\ ;\\\ 2,65+0,196\,\big]=\big[\,2,454\\ ;\\\ 2,846\,\big]\\ \mathrm{g/cm^3}.
  1. Observação prática para prova: muitas vezes pode usar a aproximação z\approx2 para 95\%, dando 2,65\pm 0,20\Rightarrow[2,45;2,85], que é suficiente se pedirem aproximação rápida.

Passo 5

Resumo rápido e encorajador: (a) padroniza sempre que precisar transformar um valor da normal em probabilidade; (b) para intervalos centrais use \mu\pm z_{\alpha/2}\sigma e lembre que para 95\% o z crítico é 1,96. Você já está sabendo o passo-a-passo que funciona na prova — respira, faz devagar e aplica essas fórmulas.

Resposta

(a) P(X>2,80)=0,0668 (aprox. 6,68\%)
(b) \big[\,2,454\\ ;\\\ 2,846\,\big]\\ \mathrm{g/cm^3}

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