Um geólogo está analisando a densidade de amostras de uma formação rochosa específica. Sabe-se que a densidade das amostras segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão
.
a) Qual é a probabilidade de uma amostra selecionada aleatoriamente ter densidade maior que 2,80
?
b) Qual é o intervalo simétrico ao redor da média que contém aproximadamente
das densidades das amostras?
a) Qual é a probabilidade de uma amostra selecionada aleatoriamente ter densidade maior que 2,80
b) Qual é o intervalo simétrico ao redor da média que contém aproximadamente
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas.
-
Informações fornecidas:
- A densidade
das amostras segue uma distribuição normal com média e desvio padrão . - Ou seja,
.
- A densidade
-
Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de uma amostra aleatória ter densidade maior que?
(b) Qual é o intervalo simétrico em torno da média que contém aproximadamentedas densidades?
Passo 2
Ideia geral e ferramenta que vamos usar (sem dizer o nome difícil ainda): quando uma variável é normal com média
e desvio padrão
, é conveniente “padronizar” para transformar qualquer valor em uma escala padrão sem unidades. A fórmula de padronização é
onde
é a variável padronizada (sem unidades). Depois de padronizar, usamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora) para obter probabilidades.
Explicando cada símbolo:
-
é a densidade que interessa (em ). -
é a média dada ( ). -
é o desvio padrão ( ). -
é a nova variável sem unidade, que segue a normal padrão (média e desvio ), então podemos ler probabilidades nela.
Passo 3
Resolvendo (a). Queremos
.
- Padronizar o valor
usando a fórmula:
- A probabilidade pedida vira
onde
é a normal padrão.
- Usando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora), a função de distribuição acumulada
vale aproximadamente . Então
- Interpretação final: a probabilidade de uma amostra ter densidade maior que
é aproximadamente , ou seja cerca de .
Dica prática para prova: se só souber a regra “empírica”
, um
está entre
e
, então a probabilidade à direita é pequena (alguns por cento); a tabela dá o número exato que usamos acima.
Passo 4
Resolvendo (b). Queremos o intervalo simétrico em torno da média que contém aproximadamente
das observações.
- Para um intervalo central com probabilidade
escolhemos um número crítico tal que
Isso deixa
de probabilidade total fora do intervalo, ou seja
em cada cauda. Então precisamos do quantil
da normal padrão (o valor com área
à esquerda).
- Da tabela da normal padrão sabe-se (ou lembra-se) que
- O meio do intervalo (a “margem”) em unidades de
é
- Portanto o intervalo simétrico em torno da média é
ou seja
- Observação prática para prova: muitas vezes pode usar a aproximação
para , dando , que é suficiente se pedirem aproximação rápida.
Passo 5
Resumo rápido e encorajador: (a) padroniza sempre que precisar transformar um valor da normal em probabilidade; (b) para intervalos centrais use
e lembre que para
o
crítico é
. Você já está sabendo o passo-a-passo que funciona na prova — respira, faz devagar e aplica essas fórmulas.
Resposta
(a)
(aprox.
)
(b)
(b)