Determine se alguma das bases a seguir é ortogonal e/ou normal e/ou ortonormal
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a base
é ortogonal, normal e/ou ortonormal. A base fornecida é
Vou listar as informações dadas (peguei-as diretamente do enunciado):
-
. -
. -
.
O que se pede: verificar as três propriedades (ortogonalidade, normalidade, ortonormalidade) para a base.
Passo 2
Definição e método para testar ortogonalidade:
- Dois vetores em
são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. - Produto escalar em
: para e ,
- Uma base é ortogonal se todos os pares distintos de vetores da base forem ortogonais (ou seja, os três produtos escalares pares são zero).
Vou calcular, e .
Passo 3
Cálculo de
.
Portanto
e
são ortogonais.
Passo 4
Cálculo de
. Primeiro simplifico
.
Agora o produto escalar:
Portanto
.
Passo 5
Cálculo de
.
Passo 6
Interpretação dos resultados de ortogonalidade:
- Foi obtido
, mas e . - Para que a base fosse ortogonal, todos os três produtos escalares pares teriam de ser zero; aqui dois deles são diferentes de zero. Logo nem todos os pares são ortogonais.
Passo 7
Definição e teste de normalidade:
- Um vetor é unitário (tem norma
) se , onde a norma é dada por . - Uma base é normal quando todos os vetores que a compõem têm norma
.
Calculo as normas dos vetores (usando).
Passo 8
Norma de
:
Passo 9
Norma de
:
Passo 10
Norma de
:
Passo 11
Interpretação dos resultados de normalidade:
- Apenas
, enquanto . - Para a base ser normal, todos os vetores deveriam ter norma
; aqui isso não ocorre.
Passo 12
Condição para ortonormalidade:
- Uma base é ortonormal se for ao mesmo tempo ortogonal (pares ortogonais) e normal (vetores unitários).
- Como nem todos os pares são ortogonais e nem todos os vetores têm norma
, a base não satisfaz as condições de uma base ortonormal.