Determine se alguma das bases a seguir é ortogonal e/ou normal e/ou ortonormal
B=\left\{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}, 0, \sqrt{20}\right) ;(0,1,0) ;\left(0, \frac{\sqrt{5}}{5}, \sqrt{20}\right)\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a base B é ortogonal, normal e/ou ortonormal. A base fornecida é
B=\left\{\;v_1=\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\,0,\,\sqrt{20}\right),\;v_2=(0,\,1,\,0),\;v_3=\left(0,\,\frac{\sqrt{5}}{5},\,\sqrt{20}\right)\;\right\}.
Vou listar as informações dadas (peguei-as diretamente do enunciado):
  • v_1=\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5},\,0,\,\sqrt{20}\right).
  • v_2=(0,\,1,\,0).
  • v_3=\left(0,\,\dfrac{\sqrt{5}}{5},\,\sqrt{20}\right).
    O que se pede: verificar as três propriedades (ortogonalidade, normalidade, ortonormalidade) para a base B.

Passo 2

Definição e método para testar ortogonalidade:
  • Dois vetores em \mathbb{R}^3 são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
  • Produto escalar em \mathbb{R}^3: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
\langle a,b\rangle = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
  • Uma base é ortogonal se todos os pares distintos de vetores da base forem ortogonais (ou seja, os três produtos escalares pares são zero).
    Vou calcular \langle v_1,v_2\rangle, \langle v_1,v_3\rangle e \langle v_2,v_3\rangle.

Passo 3

Cálculo de \langle v_1,v_2\rangle.
\langle v_1,v_2\rangle = \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\cdot 0 + 0\cdot 1 + \sqrt{20}\cdot 0 = 0.
Portanto v_1 e v_2 são ortogonais.

Passo 4

Cálculo de \langle v_1,v_3\rangle. Primeiro simplifico \sqrt{20}=2\sqrt{5}.
v_1=\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\,0,\,2\sqrt{5}\right),\qquad v_3=\left(0,\,\frac{\sqrt{5}}{5},\,2\sqrt{5}\right).
Agora o produto escalar:
\langle v_1,v_3\rangle = \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\cdot 0 + 0\cdot\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right) + (2\sqrt{5})\cdot(2\sqrt{5}).
\langle v_1,v_3\rangle = 0 + 0 + 4(\sqrt{5})^2 = 4\cdot 5 = 20.
Portanto \langle v_1,v_3\rangle = 20 \neq 0.

Passo 5

Cálculo de \langle v_2,v_3\rangle.
\langle v_2,v_3\rangle = 0\cdot 0 + 1\cdot\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right) + 0\cdot(2\sqrt{5}) = \frac{\sqrt{5}}{5}\neq 0.

Passo 6

Interpretação dos resultados de ortogonalidade:
  • Foi obtido \langle v_1,v_2\rangle=0, mas \langle v_1,v_3\rangle=20 e \langle v_2,v_3\rangle=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\neq 0.
  • Para que a base fosse ortogonal, todos os três produtos escalares pares teriam de ser zero; aqui dois deles são diferentes de zero. Logo nem todos os pares são ortogonais.

Passo 7

Definição e teste de normalidade:
  • Um vetor é unitário (tem norma 1) se \|v\|=1, onde a norma é dada por \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.
  • Uma base é normal quando todos os vetores que a compõem têm norma 1.
    Calculo as normas dos vetores (usando \sqrt{20}=2\sqrt{5}).

Passo 8

Norma de v_1:
\|v_1\|^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 + 0^2 + (2\sqrt{5})^2 = \frac{5}{25} + 0 + 4\cdot 5 = \frac{1}{5} + 20 = \frac{101}{5}.
\|v_1\| = \sqrt{\frac{101}{5}} \neq 1.

Passo 9

Norma de v_2:
\|v_2\|^2 = 0^2 + 1^2 + 0^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad \|v_2\|=1.

Passo 10

Norma de v_3:
\|v_3\|^2 = 0^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 + (2\sqrt{5})^2 = \frac{1}{5} + 20 = \frac{101}{5},
\|v_3\| = \sqrt{\frac{101}{5}} \neq 1.

Passo 11

Interpretação dos resultados de normalidade:
  • Apenas \|v_2\|=1, enquanto \|v_1\|=\|v_3\|=\sqrt{\dfrac{101}{5}}\neq 1.
  • Para a base ser normal, todos os vetores deveriam ter norma 1; aqui isso não ocorre.

Passo 12

Condição para ortonormalidade:
  • Uma base é ortonormal se for ao mesmo tempo ortogonal (pares ortogonais) e normal (vetores unitários).
  • Como nem todos os pares são ortogonais e nem todos os vetores têm norma 1, a base não satisfaz as condições de uma base ortonormal.

Resposta

B não é ortogonal.
B não é normal.
B não é ortonormal.

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