Considerando as seguintes bases do
e
. Determine:
a) A matriz mudança de base de
para
b) O vetor
sendo
c) A matriz mudança de base de B para A
a) A matriz mudança de base de
b) O vetor
c) A matriz mudança de base de B para A
Passo 1
O enunciado dá duas bases do
e pede três coisas. Dados:
- Base
. Vou chamar os vetores de de e . - Base
. Vou chamar os vetores de de e .
As perguntas são:
a) Determinar a matriz de mudança de base de para
(ou seja, a matriz que transforma coordenadas em
em coordenadas em
).
b) Dado (coordenadas de
na base
), encontrar
(coordenadas de
na base
).
c) Determinar a matriz de mudança de base de para
.
a) Determinar a matriz de mudança de base de
b) Dado
c) Determinar a matriz de mudança de base de
Passo 2
Conceito e método prático (passo-a-passo que dá para usar na prova):
- A matriz de mudança de base de
para , que vou denotar por , é a matriz que toma as coordenadas de um vetor em relação à base e devolve as coordenadas do mesmo vetor em relação à base :
- Uma maneira direta de construir
é escrever cada vetor da base como combinação linear dos vetores da base . As coordenadas dessas combinações (em relação à base ) formam as colunas de . - Na prática: montar a matriz cujas colunas são
e escritas no referencial padrão (vou chamar essa matriz de ), e resolver
para cada
(com
); o vetor
encontrado é a coluna
de
.
- Para passar de coordenadas
para coordenadas de um vetor dado, basta multiplicar pela matriz . - A matriz de mudança na direção oposta,
, é a inversa de :
Passo 3
Construção de
pois
e
.
Agora escrevo
como combinação dos
's: encontrar
tais que
Isso é o sistema
Resolvo: da segunda equação
. Logo as coordenadas de
em
são
. Essa será a primeira coluna de
.
Agora escrevo
como combinação dos
's: resolver
ou seja
Da primeira equação
. As coordenadas de
em
são
, que é a segunda coluna de
.
Portanto
Passo 4
(Confirmação e interpretação rápida) Observação: deu coincidência numérica:
ficou igual a
. Isso é só coincidência dos números neste caso; o procedimento seguido é geral e funciona sempre.
Passo 5
Encontrar
quando
. Usando a relação de mudança de base:
Faço a multiplicação:
Portanto
.
(Verificação alternativa rápida: primeiro levar a coordenadas padrão:
. Depois resolver
e obtém-se
, bate com acima.)]
Passo 6
Determinar
. Pelo fato geral:
Calculo a inversa de
. O determinante é
A inversa de
é
. Aplicando aqui:
Uma interpretação direta: cada
em coordenadas de
é obtida dividindo as componentes padrão por
(porque os vetores de
valem
vezes os vetores canônicos), por isso aparecem
.]
Resposta
a)
b)
c)
]