Considerando as seguintes bases do \mathrm{R}^{2}: A=\{(2,0),(0,2)\} e B=\{(-1,1),(1,1)\}. Determine:
a) A matriz mudança de base de A para B
b) O vetor \vec{v}_{B} sendo \vec{v}_{A}=(1,2)
c) A matriz mudança de base de B para A

Passo 1

O enunciado dá duas bases do \mathbb{R}^2 e pede três coisas. Dados:
  • Base A=\{(2,0),(0,2)\}. Vou chamar os vetores de A de a_1=(2,0) e a_2=(0,2).
  • Base B=\{(-1,1),(1,1)\}. Vou chamar os vetores de B de b_1=(-1,1) e b_2=(1,1).
As perguntas são:
a) Determinar a matriz de mudança de base de A para B (ou seja, a matriz que transforma coordenadas em A em coordenadas em B).
b) Dado \vec{v}_{A}=(1,2) (coordenadas de \vec v na base A), encontrar \vec{v}_{B} (coordenadas de \vec v na base B).
c) Determinar a matriz de mudança de base de B para A.

Passo 2

Conceito e método prático (passo-a-passo que dá para usar na prova):
  • A matriz de mudança de base de A para B, que vou denotar por P_{B\leftarrow A}, é a matriz que toma as coordenadas de um vetor em relação à base A e devolve as coordenadas do mesmo vetor em relação à base B:
\vec{x}_B = P_{B\leftarrow A}\,\vec{x}_A.
  • Uma maneira direta de construir P_{B\leftarrow A} é escrever cada vetor da base A como combinação linear dos vetores da base B. As coordenadas dessas combinações (em relação à base B) formam as colunas de P_{B\leftarrow A}.
  • Na prática: montar a matriz cujas colunas são b_1 e b_2 escritas no referencial padrão (vou chamar essa matriz de M_B), e resolver
M_B\,c = a_j
para cada a_j (com j=1,2); o vetor c encontrado é a coluna j de P_{B\leftarrow A}.
  • Para passar de coordenadas A para coordenadas B de um vetor dado, basta multiplicar pela matriz P_{B\leftarrow A}.
  • A matriz de mudança na direção oposta, P_{A\leftarrow B}, é a inversa de P_{B\leftarrow A}:
P_{A\leftarrow B} = \bigl(P_{B\leftarrow A}\bigr)^{-1}.

Passo 3

Construção de P_{B\leftarrow A}\). Primeiro escrevo a matriz cujas colunas são \(b_1\) e \(b_2\) no sistema padrão: \[M_B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix},
pois b_1 = (-1,1) e b_2=(1,1).
Agora escrevo a_1=(2,0) como combinação dos b's: encontrar x,y tais que
M_B \begin{pmatrix} x \\[4pt] y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\[4pt] 0 \end{pmatrix}.
Isso é o sistema
\begin{cases} - x + y = 2,\\[4pt] x + y = 0. \end{cases}
Resolvo: da segunda equação y = -x\]. Substituindo na primeira: \[- x + (-x) = 2 \implies -2x = 2 \implies x = -1.\] Então \[y = -x = 1. Logo as coordenadas de a_1 em B são \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Essa será a primeira coluna de P_{B\leftarrow A}.
Agora escrevo a_2=(0,2) como combinação dos b's: resolver
M_B \begin{pmatrix} x \\[4pt] y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\[4pt] 2 \end{pmatrix},
ou seja
\begin{cases} - x + y = 0,\\[4pt] x + y = 2. \end{cases}
Da primeira equação y = x\]. Substituindo na segunda: \[x + x = 2 \implies 2x = 2 \implies x = 1.\] Então \(y = 1. As coordenadas de a_2 em B são \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, que é a segunda coluna de P_{B\leftarrow A}.
Portanto
P_{B\leftarrow A} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

(Confirmação e interpretação rápida) Observação: deu coincidência numérica: P_{B\leftarrow A} ficou igual a M_B. Isso é só coincidência dos números neste caso; o procedimento seguido é geral e funciona sempre.

Passo 5

Encontrar \vec{v}_B quando \vec{v}_A=(1,2). Usando a relação de mudança de base:
\vec{v}_B = P_{B\leftarrow A}\,\vec{v}_A.
Faço a multiplicação:
\vec{v}_B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot1 + 1\cdot2 \\[4pt] 1\cdot1 + 1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 3 \end{pmatrix}.
Portanto \vec{v}_B = \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
(Verificação alternativa rápida: primeiro levar a coordenadas padrão: v_{\text{pad}} = 1\cdot a_1 + 2\cdot a_2 = 1(2,0)+2(0,2)=(2,4). Depois resolver M_B\,c=(2,4) e obtém-se c=(1,3), bate com acima.)]

Passo 6

Determinar P_{A\leftarrow B}. Pelo fato geral:
P_{A\leftarrow B} = \bigl(P_{B\leftarrow A}\bigr)^{-1}.
Calculo a inversa de \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}. O determinante é
\det = (-1)\cdot 1 - 1\cdot 1 = -2.
A inversa de \begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix} é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\[4pt] -c & a \end{pmatrix}. Aplicando aqui:
\bigl(P_{B\leftarrow A}\bigr)^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\[4pt] -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Uma interpretação direta: cada b_j em coordenadas de A é obtida dividindo as componentes padrão por 2 (porque os vetores de A valem 2 vezes os vetores canônicos), por isso aparecem \pm\tfrac12.]

Resposta

a) \displaystyle P_{B\leftarrow A}=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}
b) \displaystyle \vec{v}_{B}=\begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 3 \end{pmatrix}
c) \displaystyle P_{A\leftarrow B}=\begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

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