- Durante a solidificação do cobre um grupo de 100 átomos forma um embrião sem contato com agentes externos, para um super-resfriamento de 20 K . Determine se o embrião tem condições de transformar-se em núcleo. Se não tiver, determine o super-resfriamento necessário para que ele se torne um núcleo.
Passo 1
O enunciado diz que, durante a solidificação do cobre, um embrião contendo
átomos se formou sem contato com agentes externos (processo homogêneo) quando o metal está super-resfriado em
(ou seja,
). As perguntas são:
- O embrião com
átomos tem condições de se transformar em núcleo estável (crescer espontaneamente) para ? - Se não tiver, qual é o super-resfriamento
necessário para que um embrião de átomos seja crítico (isto é, tenha o tamanho crítico e possa crescer)?
Informações e valores numéricos que vou usar (valores típicos da literatura, aproximados; se o professor usar outros valores, trocar os números e repetir os mesmos passos):
- Temperatura de fusão do cobre:
. - Calor latente de fusão (por mol):
. - Energia interfacial sólido–líquido (tensão superficial):
(valor aproximado). - Massa molar do cobre:
. - Densidade do cobre líquido perto da fusão:
(valor aproximado). - Número de Avogadro:
.
Vou usar a teoria clássica da nucleação homogênea (energia livre de formação de uma gotícula esférica) para calcular o tamanho crítico e o número crítico de átomos; depois comparo com
átomos e, se necessário, determino o
que torna
.
Passo 2
Breve aula (intuitiva) sobre o modelo que vou usar — por que e o que cada fórmula significa.
Quando um pequeno volume de sólido (embrião esférico) aparece no líquido, a variação de energia livre total associada à sua formação tem dois termos opostos:
- um termo volumétrico favorável (reduz a energia) proporcional ao volume da gotícula, porque o sólido é termodinamicamente mais estável abaixo de
; - um termo de superfície desfavorável (aumenta a energia) proporcional à área de superfície, pela energia interfacial
.
A expressão clássica para a energia livre de formação de uma gotícula esférica de raio
é
onde:
-
é a diferença de energia livre por unidade de volume entre líquido e sólido (módulo positivo), ou seja, e o termo volumétrico vem com sinal negativo acima; -
é a energia interfacial sólido–líquido ( ).
A função
tem um máximo em
. Esse
é o raio crítico: gotas com
tendem a desaparecer (re-solubilizar); gotas com
tendem a crescer. Derivando
e igualando a zero obtém-se
O número crítico de átomos
correspondente a essa gotícula é o volume da gotícula dividido pelo volume por átomo
:
Precisamos de
em função de
. Aproximação usual para sub-resfriamentos pequenos:
- a diferença de energia livre por mol entre líquido e sólido é
(linha reta perto de ); - convertendo para por unidade de volume:
, onde é o volume molar ( ). (Tomamos o módulo, portanto .)
Também
.
Juntando tudo e eliminando
obtém-se a expressão útil (mostro a derivação nos próximos passos):
Essa fórmula mostra que
: aumentar o sub-resfriamento reduz fortemente o número crítico.
Passo 3
Calcular o volume molar
e o volume por átomo
.
Calculando:
(Guardei esses números para as contas seguintes.)
Passo 4
Calcular
para
.
Primeiro:
Multiplicando por
dá a diferença de energia livre por mol:
Convertendo para por unidade de volume (dividindo por
):
Passo 5
Calcular o raio crítico
para
.
Usando
substituindo
e
do passo anterior:
Em unidades mais intuitivas,
.
Passo 6
Calcular o número crítico de átomos
correspondente a esse
.
Volume da gotícula crítica:
Dividindo por
(do passo 3):
Comparando com o embrião dado:
- Embrião:
átomos. - Número crítico:
átomos.
Conclusão provisória: com
o embrião de
átomos é muito menor do que o crítico e, portanto, não se tornará um núcleo estável; ele tende a re-solubilizar (ou a desaparecer) em vez de crescer espontaneamente.
Passo 7
Determinar o
necessário para que
. Usamos a expressão deduzida para
em função de
. Vou mostrar rapidamente a derivação compacta:
Começando de
logo
Então
Como
, isto simplifica para
Agora isolamos
para
fixo:
Passo 8
Substituir os números para
.
Calculemos o numerador dentro do parêntese:
-
. -
. -
. -
. - Fator multiplicativo
.
Multiplicando tudo:
Denominador:
Fração:
Tomando a raiz cúbica:
Passo 9
Interpretação física e comentário final (motivador).
- Resultado: para que o tamanho crítico corresponda a apenas
átomos seria necessário um super-resfriamento de aproximadamente . Isso é muito maior do que os do enunciado. - Portanto, com
o embrião de átomos não tem condições de se transformar em núcleo crítico; ele é subcrítico e tende a desaparecer. - Observação prática: esse cálculo é da teoria clássica da nucleação homogênea e usa valores médios (especialmente
é aproximado). Mesmo mudando dentro de faixas razoáveis o resultado qualitativo não muda: a super-resfriamento exigido para que apenas átomos formem um núcleo crítico fica muito grande. Também, na prática, nucleação heterogênea (em superfícies, impurezas) facilita fortemente a formação de núcleos com sub-resfriamentos bem menores.
Força aí — é normal que números saiam grandes: significa que um “bocado” de átomos (100) ainda é pequeno demais para vencer a penalização de superfície.
Resposta
Não; o embrião com
átomos não atinge o tamanho crítico para
.
Super-resfriamento necessário para :
.
Super-resfriamento necessário para