Durante uma tempestade em Ponta Grossa - PR, a velocidade dos ventos alcançou 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Determine a força de arrasto que atuou sob uma árvore com 7.5 \mathrm{~m}^{2} de área frontal, nessas condições. Dado: \rho_{a r}=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a força de arrasto que atuou sobre uma árvore quando a velocidade do vento foi de 100\\ \mathrm{km/h}. Dados fornecidos:
\rho_{ar} = 1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}}
A = 7,5\\ \mathrm{m^{2}}
Velocidade do vento dada: 100\\ \mathrm{km/h}.
Nenhuma outra informação (por exemplo, coeficiente de arrasto C_D) foi fornecida no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a velocidade de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}, porque no SI usamos \mathrm{m} e \mathrm{s}.
Conversão:
100\\ \mathrm{km/h} = \frac{100\cdot 1000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}} = \frac{250}{9}\\ \mathrm{m/s} \approx 27,78\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: multiplicamos por 1000 para transformar km em m e dividimos por 3600 para transformar horas em segundos.

Passo 3

Fórmula física que usamos (arraste aerodinâmico em regime macroscópico):
F_D = \tfrac{1}{2}\,C_D\,\rho\,A\,v^{2}.
Explicando cada termo de forma simples:
  • \tfrac{1}{2} é um fator da expressão do que chamamos de “pressão dinâmica”.
  • C_D é o coeficiente de arrasto (adimensional). Ele mede quão eficaz o objeto é em converter a pressão dinâmica em força de arrasto; depende da forma e da rugosidade.
  • \rho é a densidade do fluido, aqui \rho_{ar}=1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • A é a área frontal que o vento “encontra”, aqui 7,5\\ \mathrm{m^{2}}.
  • v é a velocidade do vento em \mathrm{m/s}.
Observação prática para a prova: se o enunciado não fornece C_D, o procedimento comum é assumir C_D=1 como aproximação simples (isso corresponde a tomar a força igual à pressão dinâmica vezes a área). Justificativa curta: para corpos irregulares/árvores o C_D pode variar bastante, mas 1 dá uma estimativa de ordem de grandeza; usar C_D muito diferente exigiria informação adicional. Vou, portanto, assumir C_D=1 e explico o efeito dessa escolha ao final.

Passo 4

Calcular a pressão dinâmica q=\tfrac{1}{2}\rho v^{2} usando os valores:
Primeiro v^{2}:
v = \frac{250}{9}\\ \mathrm{m/s}\quad\Rightarrow\quad v^{2}=\frac{62500}{81}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}\approx 771,604938\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora a pressão dinâmica:
q=\tfrac{1}{2}\rho v^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 771,604938 \\ \mathrm{kg/(m\cdot s^{2})}.
Calculando:
\tfrac{1}{2}\cdot 1,2 = 0,6,
q = 0,6 \cdot 771,604938 \approx 462,962963\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Comentário: q tem unidade de \mathrm{N/m^{2}} (pascal), e é a “pressão” exercida pelo vento devido ao seu movimento.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula completa com C_D=1:
F_D = C_D \, q \, A = 1 \cdot 462,962963 \cdot 7,5\\ \mathrm{N}.
Calculando:
F_D \approx 462,962963 \times 7,5 \approx 3472,222222\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas coerentes com dados):
F_D \approx 3472,22\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Interpretação e comentário didático:
  • A força obtida, \approx 3472,22\\ \mathrm{N}, é a estimativa de arrasto na árvore com a hipótese C_D=1.
  • Se quisermos uma interpretação em massa equivalente (peso), dividimos por g\approx 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}: isso dá aproximadamente 354\\ \mathrm{kgf}. Ou seja, o vento empurra como se estivesse segurando um peso de cerca de 354\\ \mathrm{kg} — é uma força grande.
  • Se tivéssemos um C_D menor (por exemplo C_D\approx 0,5), a força seria metade; se C_D for maior, aumenta proporcionalmente. Para árvores com muitas folhas C_D pode ser próximo de 1 ou até maior; para troncos lisos pode ser menor.
Força final calculada acima é suficiente para a maioria de exercícios de prova que não fornecem C_D. Força-te: você já entendeu como converter unidades, aplicar a fórmula e interpretar o resultado — é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova!

Resposta

3472,22\\ \mathrm{N}

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