Um modelo hidráulico em escala 1: 25 será ensaiado para estimar a vazão de uma barragem real. Estime a vazāo necessária no modelo para que represente uma vazão no protótipo de 27000 \mathrm{~L} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime a vazão no modelo em escala 1:25 que represente uma vazão no protótipo de 27000\\ \mathrm{L/s}. \n
Informações dadas:
\text{escala linear: } \frac{L_{\text{modelo}}}{L_{\text{protótipo}}} = \frac{1}{25}ó
Q_{\text{protótipo}} = 27000\\ \mathrm{L/s}ó
A tarefa é calcular Q_{\text{modelo}}.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): para ensaios hidráulicos envolvendo escoamentos com superfície livre (como em barragens/vertedores) a similaridade dinâmica mais apropriada é a similaridade de Froude. Isso porque a gravidade domina a dinâmica do escoamento livre; igualar o número de Froude entre modelo e protótipo garante que os efeitos gravitacionais sejam reproduzidos corretamente. \n
O número de Froude é definido por
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{gL}},
onde V é a velocidade característica, g é a aceleração da gravidade e L é uma dimensão linear característica. Para similaridade de Froude devemos ter \mathrm{Fr}_{\text{modelo}}=\mathrm{Fr}_{\text{protótipo}}ó.

Passo 3

Definições de escala e variáveis:
\lambda \doteq \frac{L_{\text{modelo}}}{L_{\text{protótipo}}}=\frac{1}{25}.ó
Vamos usar:
L:\text{ comprimento característico},\quad V:\text{ velocidade},\quad A:\text{ área de seção},\quad Q:\text{ vazão }(=A\cdot V).íáçãã
Queremos relacionar Q_{\text{modelo}} com Q_{\text{protótipo}}ó usando \lambda.

Passo 4

Escala de velocidade pela condição de Froude (mostrando o passo algébrico):
\mathrm{Fr}_{\text{m}}=\mathrm{Fr}_{\text{p}}
\frac{V_{\text{m}}}{\sqrt{g\,L_{\text{m}}}}=\frac{V_{\text{p}}}{\sqrt{g\,L_{\text{p}}}}
cancelando g e rearranjando:
\frac{V_{\text{m}}}{V_{\text{p}}}=\sqrt{\frac{L_{\text{m}}}{L_{\text{p}}}}=\sqrt{\lambda}.
Como \lambda=\tfrac{1}{25}, temos
\frac{V_{\text{m}}}{V_{\text{p}}}=\sqrt{\tfrac{1}{25}}=\tfrac{1}{5}.

Passo 5

Escala da área de seção: áreas escalam com o quadrado das dimensões lineares, então
\frac{A_{\text{m}}}{A_{\text{p}}}=\lambda^{2}=\left(\tfrac{1}{25}\right)^{2}=\tfrac{1}{625}.

Passo 6

Escala da vazão (produto de área por velocidade): usando Q=A\cdot V,
\frac{Q_{\text{m}}}{Q_{\text{p}}}=\frac{A_{\text{m}}}{A_{\text{p}}}\cdot\frac{V_{\text{m}}}{V_{\text{p}}}=\lambda^{2}\cdot\lambda^{1/2}=\lambda^{5/2}.
Calculando \lambda^{5/2}:
\lambda^{5/2}=\left(\tfrac{1}{25}\right)^{5/2}=\frac{1}{25^{5/2}}.
Como 25^{1/2}=5 e 25^{2}=625, então
25^{5/2}=25^{2}\cdot 25^{1/2}=625\cdot 5=3125,
logo
\frac{Q_{\text{m}}}{Q_{\text{p}}}=\frac{1}{3125}.

Passo 7

Cálculo numérico da vazão do modelo. Usando a razão encontrada:
Q_{\text{m}}=Q_{\text{p}}\cdot\frac{1}{3125}.
Podemos usar Q_{\text{p}}=27000\\ \mathrm{L/s} diretamente:
Q_{\text{m}}=\frac{27000}{3125}\\ \mathrm{L/s}.
Fazendo a divisão (mostrando passos simples): 27000/125=216 e 3125=25\cdot125, então
\frac{27000}{3125}=\frac{216}{25}=8,64.
Portanto
Q_{\text{m}}=8,64\\ \mathrm{L/s}.
Em unidades de \mathrm{m^{3}/s}:
8,64\\ \mathrm{L/s}=0,00864\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 8

Resumo didático-final: a razão de vazões para similaridade de Froude num modelo linear 1:25 é 1/3125. Aplicando essa razão ao valor do protótipo obtemos 8,64\\ \mathrm{L/s}. Vai dar certo no ensaio desde que a configuração reproduza geometricamente o protótipo e os efeitos viscosos sejam desprezíveis ou não influam na escala (por isso a escolha de Froude). Força aí — você já tem o valor para ajustar a bomba do modelo!

Resposta

0,00864\\ \mathrm{m^{3}/s}
8,64\\ \mathrm{L/s}

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