Durante o teste de um motor de combustão interna, 3,00 \mathrm{~L} de gás nitrogênio em 18,5^{\circ} \mathrm{C} foram comprimidos rapidamente (e irreversivelmente) até 0,500 \mathrm{~L} por um pistão. No processo, a temperatura do gás aumentou para 28,1^{\circ} \mathrm{C}. Considere ideal o comportamento do gás. Qual é a variação de entropia do gás?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados:
  • Volume inicial V_1 = 3{,}00\\ \mathrm{L}.
  • Temperatura inicial T_1 = 18{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Volume final V_2 = 0{,}500\\ \mathrm{L}.
  • Temperatura final T_2 = 28{,}1^\circ\mathrm{C}.
  • O gás é nitrogênio (assumir comportamento de gás ideal).
    A pergunta é: qual é a variação de entropia do gás \Delta S durante essa compressão irreversível?

Passo 2

Ideia para resolver (conceito chave): entropia S é função de estado. Isso significa que, mesmo que o processo real seja irreversível, a variação de entropia entre os estados inicial e final é a mesma que a variação obtida ao conectar esses estados por qualquer caminho reversível conveniente. Portanto podemos calcular \Delta S usando um processo reversível entre os mesmos estados.
Derivação da fórmula que vamos usar. Para um processo reversível vale
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Para um gás ideal, usando a primeira lei \delta Q_{\text{rev}} = dU + p\,dV e dU=n C_V\,dT, além de p=\dfrac{nRT}{V}, temos
dS=\frac{n C_V\,dT + p\,dV}{T} = n C_V\frac{dT}{T} + nR\frac{dV}{V}.
Integrando entre os estados 1 e 2:
\Delta S = n C_V \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + n R \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Essa é a fórmula que usaremos. Aqui:
  • n é o número de mols do gás;
  • C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (unidade \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}});
  • R é a constante universal dos gases (unidade \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}).

Passo 3

Converter unidades e fixar constantes:
  • Converter volumes para \mathrm{m^3}: V_1 = 3{,}00\\ \mathrm{L} = 3{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}, \qquad V_2 = 0{,}500\\ \mathrm{L} = 5{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
  • Converter temperaturas para Kelvin: T_1 = 18{,}5^\circ\mathrm{C} = 18{,}5 + 273{,}15 = 291{,}65\\ \mathrm{K},
T_2 = 28{,}1^\circ\mathrm{C} = 28{,}1 + 273{,}15 = 301{,}25\\ \mathrm{K}.
  • Constante dos gases: R = 8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Para o nitrogênio ( \mathrm{N_2}) em temperatura ambiente pode-se tratar como gás diatômico (graus de liberdade translacionais + rotações ativa), portanto a capacidade molar a volume constante é aproximadamente C_V = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2}\cdot 8{,}314 = 20{,}785\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
(Usei a aproximação C_V=5/2\,R válida para diatômicos a temperatura moderada.)

Passo 4

Determinar o número de mols n. O enunciado não informou a pressão inicial explicitamente; é comum nessas questões assumir que o gás inicialmente está à pressão ambiente p_1 = 1{,}00\\ \text{atm} = 101325\\ \mathrm{Pa}. Vou adotar essa hipótese para obter n a partir da equação dos gases ideais:
n=\frac{p_1 V_1}{R T_1}.
Substituindo os números:
n=\frac{101325\cdot(3{,}00\times10^{-3})}{8{,}314\cdot 291{,}65} =\frac{303{,}975}{2424{,}04}\approx 0{,}12546\\ \mathrm{mol}.

Passo 5

Calcular \Delta S usando a fórmula do Passo 2. Primeiro calcular os logaritmos:
\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\frac{301{,}25}{291{,}65}\right)\approx 0{,}03262,
\ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right)=\ln\!\left(\frac{5{,}00\times10^{-4}}{3{,}00\times10^{-3}}\right) =\ln(0{,}1666667)\approx -1{,}79176.
Agora \Delta S:
\Delta S = n\Big(C_V \ln\!\frac{T_2}{T_1} + R \ln\!\frac{V_2}{V_1}\Big).
Substituindo valores numéricos:
C_V \ln\!\frac{T_2}{T_1}=20{,}785\cdot 0{,}03262 \approx 0{,}6779\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
R \ln\!\frac{V_2}{V_1}=8{,}314\cdot(-1{,}79176)\approx -14{,}900\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Assim o termo por mol:
\Delta s_{\text{mol}} = 0{,}6779 - 14{,}900 \approx -14{,}222\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Multiplicando por n:
\Delta S = n\,\Delta s_{\text{mol}} \approx 0{,}12546\cdot(-14{,}222) \approx -1{,}78\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.

Passo 6

Interpretação e comentário final: o resultado é negativo ( \Delta S<0), o que faz sentido porque o gás foi comprimido (volume diminuiu) e, apesar do aquecimento, o efeito da forte redução de volume domina na expressão envolvendo \ln(V_2/V_1). Lembre que a variação de entropia é independente do caminho real; usei um caminho reversível apenas para calcular o valor.
Você está indo bem — processo irreversível não impede calcular \Delta S, pois entropia é função de estado. Se quiser, posso refazer o cálculo sem assumir p_1=1\\ \text{atm} e em vez disso fornecer a variação de entropia por mol ( \Delta s_{\text{mol}}), caso prefira esse formato.

Resposta

-1{,}78\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}} (aproximadamente, assumindo p_1=1{,}00\\ \text{atm})

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