Um mol de um gás ideal,
, está sujeito a duas mudanças sucessivas de estado:
a) A partir de
e pressão de 100 kPa , o gás é expandido isotermicamente contra uma pressão constante de 20 kPa para o dobro do volume inicial.
b) Depois de sofrer a mudança em (a), o gás é resfriado a volume constante de
para
.
Calcule
e
para as mudanças em (a) e (b) e para a mudança geral (a) + (b).
a) A partir de
b) Depois de sofrer a mudança em (a), o gás é resfriado a volume constante de
Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
- Quantidade de gás:
mol. - Capacidade térmica molar a volume constante:
. - Temperatura inicial no estado A:
. Vou usar a escala absoluta nas contas: . - Pressão inicial:
. - Processo (a): expansão isotérmica (temperatura mantida em
) até o dobro do volume inicial, ocorrendo contra pressão externa constante . - Processo (b): após (a), arrefecimento a volume constante de
para . - Mede-se calor
, trabalho , variação de energia interna e variação de entalpia para (a), (b) e para o conjunto (a)+(b).
O que é pedido:
- Para (a): calcular
, , e . - Para (b): calcular
, , e . - Para (a)+(b): calcular as grandezas totais
, , e .
Passo 2
Vou estabelecer convenções e fórmulas que vou usar (explicando cada uma com calma).
Convenção de sinais:
- Trabalho
: tomo positivo quando o sistema realiza trabalho sobre o entorno (trabalho feito pelo sistema). - Primeira lei da termodinâmica (nessa convenção):
Isto significa: variação de energia interna é o calor recebido menos o trabalho realizado pelo sistema.
Fórmulas importantes para gás ideal:
- Equação dos gases perfeitos (ideal):
onde
é a pressão do gás,
o volume,
o número de mols,
a constante universal dos gases (
) e
a temperatura em kelvin.
- Energia interna de um gás ideal (função somente da temperatura):
onde
é a capacidade térmica molar a volume constante e
.
- Entalpia para gás ideal:
com
(relação de Mayer). Assim, para este gás:
- Trabalho em processos:
- Trabalho de expansão contra uma pressão externa constante
(processo irreversível, não quasistático):
- Trabalho em processo reversível isotérmico de gás ideal seria
, mas aqui o enunciado especifica pressão externa constante (portanto usar ). - Trabalho em processo a volume constante:
.
Observações didáticas rápidas:
- Para um gás ideal, a energia interna depende só de
. Logo, em qualquer processo isotérmico e . - Sempre converter kPa para Pa (1 kPa = 1000 Pa) e °C para K para usar a equação dos gases.
Passo 3
Calcular o volume inicial
usando a equação dos gases ideais (peguei
e
do enunciado).
Substituindo números (
,
,
,
):
Como o volume final do processo (a) é o dobro, temos
Logo a variação de volume em (a) é
Passo 4
Processo (a): expansão isotérmica contra pressão externa constante
.
Aplicações de fórmulas:
- Trabalho realizado pelo gás:
- Como é isotérmico para gás ideal, a energia interna não muda:
- Pela primeira lei, o calor trocado é:
- E como
, .
Agora calculo numericamente
.
Passo 5
Cálculo numérico de
.
Portanto:
Passo 6
Processo (b): resfriamento a volume constante de
para
.
Dados para (b):
- Processo isocórico
. - Temperaturas:
e . - Variação de temperatura:
- Capacidade
. Vou calcular numericamente e depois e .
Passo 7
Calcular
e
numericamente.
Passo 8
Calcular
,
e
.
Energia interna:
Trabalho:
Pela primeira lei:
Variação de entalpia:
Passo 9
Agora somo as contribuições para obter as grandezas do processo total (a)+(b).
Somatórios diretos:
Verificação rápida pela primeira lei (checar consistência):
Calculando o lado direito:
igual a
. Tudo consistente.
Passo 10
Resumo numérico e interpretação curta (ânimo: você já subiu o morro!).
Resultados estão consistentes com a física: em (a) a energia interna e entalpia não mudam porque a temperatura foi mantida; em (b) sem trabalho, todo o calor retirado sai como diminuição da energia interna. Somando, a energia interna final diminuiu pelo valor calculado.
Resposta
(a)
,
,
,
(b)
,
,
,
(a)+(b)
,
,
,