Um mol de um gás ideal, \mathrm{Cv}=(5 / 2) \mathrm{R}, está sujeito a duas mudanças sucessivas de estado:
a) A partir de 25^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 100 kPa , o gás é expandido isotermicamente contra uma pressão constante de 20 kPa para o dobro do volume inicial.
b) Depois de sofrer a mudança em (a), o gás é resfriado a volume constante de 25^{\circ} \mathrm{C} para -25^{\circ} \mathrm{C}.
Calcule Q, W, \Delta U e \Delta H para as mudanças em (a) e (b) e para a mudança geral (a) + (b).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Quantidade de gás: n=1 mol.
  • Capacidade térmica molar a volume constante: \mathrm{C_V}=\dfrac{5}{2}R.
  • Temperatura inicial no estado A: 25^\circ\mathrm{C}. Vou usar a escala absoluta nas contas: T_A=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão inicial: p_i=100\\ \mathrm{kPa}=100000\\ \mathrm{Pa}.
  • Processo (a): expansão isotérmica (temperatura mantida em 25^\circ\mathrm{C}) até o dobro do volume inicial, ocorrendo contra pressão externa constante p_{\text{ext}}=20\\ \mathrm{kPa}=20000\\ \mathrm{Pa}.
  • Processo (b): após (a), arrefecimento a volume constante de 25^\circ\mathrm{C} para -25^\circ\mathrm{C}.
  • Mede-se calor Q, trabalho W, variação de energia interna \Delta U e variação de entalpia \Delta H para (a), (b) e para o conjunto (a)+(b).
O que é pedido:
  • Para (a): calcular Q, W, \Delta U e \Delta H.
  • Para (b): calcular Q, W, \Delta U e \Delta H.
  • Para (a)+(b): calcular as grandezas totais Q, W, \Delta U e \Delta H.

Passo 2

Vou estabelecer convenções e fórmulas que vou usar (explicando cada uma com calma).
Convenção de sinais:
  • Trabalho W: tomo W positivo quando o sistema realiza trabalho sobre o entorno (trabalho feito pelo sistema).
  • Primeira lei da termodinâmica (nessa convenção):
\Delta U = Q - W.
Isto significa: variação de energia interna é o calor recebido menos o trabalho realizado pelo sistema.
Fórmulas importantes para gás ideal:
  1. Equação dos gases perfeitos (ideal):
pV = nRT,
onde p é a pressão do gás, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases ( R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}) e T a temperatura em kelvin.
  1. Energia interna de um gás ideal (função somente da temperatura):
\Delta U = n \, C_V \, \Delta T,
onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante e \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
  1. Entalpia para gás ideal:
H = U + pV \quad\Rightarrow\quad \Delta H = n \, C_P \, \Delta T,
com C_P = C_V + R (relação de Mayer). Assim, para este gás:
C_P = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R.
  1. Trabalho em processos:
  • Trabalho de expansão contra uma pressão externa constante p_{\text{ext}} (processo irreversível, não quasistático):
W = p_{\text{ext}}(V_f - V_i).
  • Trabalho em processo reversível isotérmico de gás ideal seria W_{\text{rev}}=nRT\ln\!\dfrac{V_f}{V_i}, mas aqui o enunciado especifica pressão externa constante (portanto usar W = p_{\text{ext}}\Delta V).
  • Trabalho em processo a volume constante: W=0.
Observações didáticas rápidas:
  • Para um gás ideal, a energia interna depende só de T. Logo, em qualquer processo isotérmico \Delta U=0 e \Delta H=0.
  • Sempre converter kPa para Pa (1 kPa = 1000 Pa) e °C para K para usar a equação dos gases.

Passo 3

Calcular o volume inicial V_i usando a equação dos gases ideais (peguei p_i e T_A do enunciado).
V_i = \frac{nRT_A}{p_i}.
Substituindo números ( n=1, R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, T_A=298{,}15\\ \mathrm{K}, p_i=100000\\ \mathrm{Pa}):
V_i = \frac{1\cdot 8{,}314\cdot 298{,}15}{100000} =0{,}0247896\\ \mathrm{m^3}\approx 2{,}47896\times10^{-2}\\ \mathrm{m^3}.
Como o volume final do processo (a) é o dobro, temos
V_f^{(a)}=2V_i=0{,}0495792\\ \mathrm{m^3}.
Logo a variação de volume em (a) é
\Delta V^{(a)}=V_f^{(a)}-V_i=V_i=0{,}0247896\\ \mathrm{m^3}.

Passo 4

Processo (a): expansão isotérmica contra pressão externa constante p_{\text{ext}}=20000\\ \mathrm{Pa}.
Aplicações de fórmulas:
  • Trabalho realizado pelo gás:
W_a = p_{\text{ext}}\,\Delta V^{(a)}.
  • Como é isotérmico para gás ideal, a energia interna não muda:
\Delta U_a = 0.
  • Pela primeira lei, o calor trocado é:
Q_a = \Delta U_a + W_a = W_a.
  • E como \Delta T=0, \Delta H_a = n C_P \Delta T = 0.
Agora calculo numericamente W_a.

Passo 5

Cálculo numérico de W_a.
W_a = p_{\text{ext}}\Delta V^{(a)} = 20000\\ \mathrm{Pa}\times 0{,}0247896\\ \mathrm{m^3}.
W_a = 495{,}792\\ \mathrm{J}\approx 4,96\times10^{2}\\ \mathrm{J}.
Portanto:
Q_a = W_a = 495{,}792\\ \mathrm{J}, \qquad \Delta U_a = 0\\ \mathrm{J}, \qquad \Delta H_a = 0\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Processo (b): resfriamento a volume constante de 25^\circ\mathrm{C} para -25^\circ\mathrm{C}.
Dados para (b):
  • Processo isocórico \Rightarrow W_b=0.
  • Temperaturas: T_{\text{ini}}^{(b)}=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K} e T_{\text{fim}}^{(b)}=-25^\circ\mathrm{C}=248{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Variação de temperatura:
\Delta T^{(b)} = 248{,}15 - 298{,}15 = -50\\ \mathrm{K}.
  • Capacidade C_V = \dfrac{5}{2}R. Vou calcular C_V numericamente e depois \Delta U_b e \Delta H_b.

Passo 7

Calcular C_V e C_P numericamente.
C_V = \frac{5}{2}R = 2{,}5\times 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} = 20{,}785\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
C_P = C_V + R = 20{,}785 + 8{,}314 = 29{,}099\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 8

Calcular \Delta U_b, Q_b e \Delta H_b.
Energia interna:
\Delta U_b = n C_V \Delta T^{(b)} = 1 \times 20{,}785\\ \mathrm{J/K}\times (-50\\ \mathrm{K}).
\Delta U_b = -1\,039{,}25\\ \mathrm{J}\approx -1,04\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
Trabalho:
W_b = 0\\ \mathrm{J}.
Pela primeira lei:
Q_b = \Delta U_b + W_b = \Delta U_b = -1\,039{,}25\\ \mathrm{J}.
Variação de entalpia:
\Delta H_b = n C_P \Delta T^{(b)} = 1\times 29{,}099\\ \mathrm{J/K}\times(-50\\ \mathrm{K}) = -1\,454{,}95\\ \mathrm{J}\approx -1,45\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Agora somo as contribuições para obter as grandezas do processo total (a)+(b).
Somatórios diretos:
Q_{\text{tot}} = Q_a + Q_b = 495{,}792 + (-1\,039{,}25) = -543{,}458\\ \mathrm{J}\approx -5,43\times10^{2}\\ \mathrm{J}.
W_{\text{tot}} = W_a + W_b = 495{,}792 + 0 = 495{,}792\\ \mathrm{J}\approx 4,96\times10^{2}\\ \mathrm{J}.
\Delta U_{\text{tot}} = \Delta U_a + \Delta U_b = 0 + (-1\,039{,}25) = -1\,039{,}25\\ \mathrm{J}\approx -1,04\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
\Delta H_{\text{tot}} = \Delta H_a + \Delta H_b = 0 + (-1\,454{,}95) = -1\,454{,}95\\ \mathrm{J}\approx -1,45\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
Verificação rápida pela primeira lei (checar consistência):
\Delta U_{\text{tot}} \stackrel{?}{=} Q_{\text{tot}} - W_{\text{tot}}.
Calculando o lado direito:
Q_{\text{tot}} - W_{\text{tot}} = (-543{,}458) - 495{,}792 = -1\,039{,}25\\ \mathrm{J},
igual a \Delta U_{\text{tot}}. Tudo consistente.

Passo 10

Resumo numérico e interpretação curta (ânimo: você já subiu o morro!).
Resultados estão consistentes com a física: em (a) a energia interna e entalpia não mudam porque a temperatura foi mantida; em (b) sem trabalho, todo o calor retirado sai como diminuição da energia interna. Somando, a energia interna final diminuiu pelo valor calculado.

Resposta

(a) Q=4,96\times10^{2}\\ \mathrm{J}, W=4,96\times10^{2}\\ \mathrm{J}, \Delta U=0\\ \mathrm{J}, \Delta H=0\\ \mathrm{J}
(b) Q=-1,04\times10^{3}\\ \mathrm{J}, W=0\\ \mathrm{J}, \Delta U=-1,04\times10^{3}\\ \mathrm{J}, \Delta H=-1,45\times10^{3}\\ \mathrm{J}
(a)+(b) Q=-5,43\times10^{2}\\ \mathrm{J}, W=4,96\times10^{2}\\ \mathrm{J}, \Delta U=-1,04\times10^{3}\\ \mathrm{J}, \Delta H=-1,45\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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