O aquecedor de um aquário consome 362 \mathrm{~W}\left(1 \mathrm{~W}=1 \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}^{-1}\right). (a) Qual é a velocidade de geração de entropia quando o aquecedor é instalado em um aquário volumoso mantido em 27^{\circ} \mathrm{C} ? (b) Quanta entropia é gerada em um dia? (c) A entropia gerada seria maior ou menor se o aquário fosse mantido em 22^{\circ} \mathrm{C} ? Explique sua resposta.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dado: o aquecedor consome \,362\\ \mathrm{W} (ou seja, gera calor à taxa de \dot Q=362\\ \mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1}).
  • Dado: a temperatura do aquário é mantida em 27^\circ\mathrm{C} para as partes (a) e (b). Para a parte (c) há uma nova temperatura 22^\circ\mathrm{C}.
  • Lembrete de conversão de temperaturas para Kelvin (sempre usar Kelvin nas fórmulas térmicas):
    • 27^\circ\mathrm{C}=27+273{,}15=300{,}15\\ \mathrm{K}.
    • 22^\circ\mathrm{C}=22+273{,}15=295{,}15\\ \mathrm{K}.
O enunciado pede:
(a) a velocidade (taxa) de geração de entropia quando o aquário está a 27^\circ\mathrm{C};
(b) quanta entropia é gerada em um dia (24 h) nesse mesmo caso;
(c) comparar se a entropia gerada seria maior ou menor se a temperatura fosse 22^\circ\mathrm{C} e explicar por quê.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e intuitiva).
  • Entropia elementar: para uma troca de calor reversível infinitesimal \delta Q_\text{rev} a uma temperatura T, a variação de entropia do reservatório é \mathrm{d}S=\dfrac{\delta Q_\text{rev}}{T}. Aqui S tem unidades \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}, Q tem unidades \mathrm{J} e T em \mathrm{K}.
  • No nosso caso o aquecedor transforma energia elétrica (trabalho de entrada) em calor entregue ao aquário. Trabalho elétrico não carrega entropia significativa; todo o fluxo de energia entra no reservatório como calor. Assim, a taxa de geração de entropia (entropia produzida por unidade de tempo) pode ser tomada como \dot S=\frac{\dot Q}{T},onde \dot Q é a potência dissipada em calor (aqui \dot Q=362\\ \mathrm{W}) e T é a temperatura absoluta do aquário (em \mathrm{K}).
  • Interpretação física simples: a mesma quantidade de energia desperdiçada como calor em uma temperatura mais baixa gera mais entropia, porque dividir uma mesma quantidade de energia por um número menor T dá um número maior. Pense que energia “espalha” mais quando a temperatura está mais baixa.

Passo 3

Cálculo da parte (a): taxa de geração de entropia em 27^\circ\mathrm{C}.
  • Usamos a fórmula \dot S=\dfrac{\dot Q}{T}.
  • Substituindo \dot Q=362\\ \mathrm{W} e T=300{,}15\\ \mathrm{K}: \dot S=\frac{362}{300{,}15}\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
  • Calculemos o quociente (mostrar conta): \dot S \approx 1{,}20606\\ \mathrm{W\,K^{-1}},ou, escrevendo unidades alternativas, \dot S \approx 1{,}20606\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Cálculo da parte (b): entropia gerada em um dia (24 h) para 27^\circ\mathrm{C}.
  • Primeiro convertemos 1 dia para segundos: 1\\ \text{dia}=24\\ \text{h}=24\times3600=86400\\ \mathrm{s}.
  • A entropia gerada em um dia é \Delta S=\dot S\times(\text{tempo}). Usando o valor de \dot S do passo anterior: \Delta S = 1{,}20606\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}\times86400\\ \mathrm{s}.
  • Fazendo a multiplicação: \Delta S \approx 104\,203{,}9\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}.(aproximadamente 1{,}04\times10^{5}\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}).

Passo 5

Parte (c): entropia gerada se a temperatura do aquário fosse 22^\circ\mathrm{C} — comparação e explicação.
  • A fórmula continua sendo \dot S=\dfrac{\dot Q}{T}. Agora T=295{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Cálculo numérico: \dot S_{22^\circ\mathrm{C}}=\frac{362}{295{,}15}\\ \mathrm{W\,K^{-1}}\approx 1{,}2264\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
  • Comparação: \dot S_{22^\circ\mathrm{C}} é maior que \dot S_{27^\circ\mathrm{C}} porque o denominador T é menor. Portanto, para a mesma potência dissipada, um reservatório mais frio (menor T) recebe a mesma energia dividida por um número menor, resultando em maior entropia gerada.
  • Se quisermos a entropia por dia nesse caso: \Delta S_{22^\circ\mathrm{C}}\approx 1{,}2264\times86400\\ \mathrm{s}\approx 105{,}961\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}.
  • Explicação física curta e intuitiva (didática): entregar uma quantidade fixa de energia térmica a uma temperatura mais baixa aumenta mais a desordem (entropia) do sistema do que entregar a mesma energia a uma temperatura mais alta. Por isso a entropia gerada aumenta quando a temperatura do aquário diminui.

Resposta

(a) \dot S=\dfrac{362}{300{,}15}\\ \mathrm{W\,K^{-1}}\approx 1{,}21\\ \mathrm{W\,K^{-1}}.
(b) \Delta S_{\text{dia}}=\dot S\times86400\\ \mathrm{s}\approx 1{,}04\times10^{5}\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}.
(c) Maior; para 22^\circ\mathrm{C} tem \dot S\approx\dfrac{362}{295{,}15}\approx 1{,}23\\ \mathrm{W\,K^{-1}} (logo a entropia gerada por dia também aumenta).

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