Durante um tratamento térmico, é fornecida uma taxa líquida de energia
a um alimento líquido sob agitação, que, por sua vez, perde uma quantidade líquida de energia para o ambiente a uma taxa
. Considere que
e
.T. onde
,
e são constantes e que
é o tempo de duração do tratamento térmico em questão e
refere-se a temperatura. Obtenha a equação que expressa o valor da temperatura deste alimento ao longo desse processo. Obtenha a equação que expressa o valor da temperatura deste alimento ao longo desse processo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tratamento térmico onde a gente está adicionando energia a um alimento líquido e, ao mesmo tempo, esse alimento está perdendo energia para o ambiente. Nosso objetivo aqui é descobrir como a temperatura desse alimento muda ao longo do tempo durante esse processo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de balanço de energia e resolver uma equação diferencial simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as taxas de energia envolvidas:
- Taxa de energia fornecida:
- Taxa de energia perdida:
Aqui,
,
e
são constantes, e
é a temperatura do alimento.
Passo 3
O próximo passo é montar o balanço de energia. A energia que vai aumentando a temperatura do alimento é a diferença entre a energia que entra e a que sai. Então, podemos escrever:
Onde
é a taxa de variação da energia interna do alimento, que está relacionada à variação da temperatura.
Passo 4
Sabendo que
, onde
é a capacidade térmica do alimento, podemos substituir na equação:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial linear da forma:
Onde
e
. Para resolver, usamos o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 8
A equação à esquerda agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Calculamos a integral:
Então:
Passo 10
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a expressão exponencial:
Passo 11
Para determinar a constante
, precisamos de uma condição inicial. Supondo que, no tempo
, a temperatura inicial seja
, temos:
Logo:
Passo 12
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A temperatura do alimento ao longo do tempo é dada por: