Durante um tratamento térmico, é fornecida uma taxa líquida de energia dotG a um alimento líquido sob agitação, que, por sua vez, perde uma quantidade líquida de energia para o ambiente a uma taxa dotg. Considere que dotG=a e^-De e dotxi=c.T. onde a, b e são constantes e que t é o tempo de duração do tratamento térmico em questão e T refere-se a temperatura. Obtenha a equação que expressa o valor da temperatura deste alimento ao longo desse processo. Obtenha a equação que expressa o valor da temperatura deste alimento ao longo desse processo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tratamento térmico onde a gente está adicionando energia a um alimento líquido e, ao mesmo tempo, esse alimento está perdendo energia para o ambiente. Nosso objetivo aqui é descobrir como a temperatura desse alimento muda ao longo do tempo durante esse processo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de balanço de energia e resolver uma equação diferencial simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as taxas de energia envolvidas:
  • Taxa de energia fornecida: dotG = a cdot e^-De
  • Taxa de energia perdida: dotxi = c cdot T
Aqui, a, c e De são constantes, e T é a temperatura do alimento.

Passo 3

O próximo passo é montar o balanço de energia. A energia que vai aumentando a temperatura do alimento é a diferença entre a energia que entra e a que sai. Então, podemos escrever:
dotG - dotxi = dQdt
Onde dQdt é a taxa de variação da energia interna do alimento, que está relacionada à variação da temperatura.

Passo 4

Sabendo que dQdt = c cdot dTdt, onde c é a capacidade térmica do alimento, podemos substituir na equação:
a cdot e^-De

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar dTdt:
dTdt + cc T = ac e^-De
Simplificando:
dTdt + T = ac e^-De

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial linear da forma:
dTdt + P(t) T = Q(t)
Onde P(t) = 1 e Q(t) = ac e^-De. Para resolver, usamos o fator integrante mu(t):
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^t

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^t cdot dTdt + e^t T = ac e^t cdot e^-De
Simplificando o lado direito:
e^t cdot dTdt + e^t T = ac e^(1 - De

Passo 8

A equação à esquerda agora é a derivada do produto e^t T:
ddt(e^t T) = ac e^(1 - De
Integrando ambos os lados em relação a t:
e^t T = ac integral e^(1 - De
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Calculamos a integral:
integral e^(1 - De
Então:
e^t T = ac (1 - De

Passo 10

Agora, isolamos T dividindo ambos os lados por e^t:
T(t) = ac (1 - De
Simplificando a expressão exponencial:
T(t) = ac (1 - De

Passo 11

Para determinar a constante C, precisamos de uma condição inicial. Supondo que, no tempo t = 0, a temperatura inicial seja T0, temos:
T(0) = ac (1 - De
Logo:
C = T0 - ac (1 - De

Passo 12

Substituindo C na expressão de T(t):
T(t) = ac (1 - De

Resposta

A temperatura do alimento ao longo do tempo é dada por:
T(t) = ac (1 - De

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